Реши задание на изображении

Краткие ответы

Задание 1:

\[ \begin{aligned} 0,(2)&=\frac{2}{9},& 1,(35)&=\frac{134}{99},& 16,(225)&=\frac{1801}{111},\\ 0,1(63)&=\frac{9}{55},& 10,01(2)&=\frac{9011}{900},& 8,21(031)&=\frac{82021}{9990}. \end{aligned} \]

Задание 2:

1. \(\displaystyle \frac{11}{10}\)

2. \(1\)

3. \(46\)

Задание 3:

1. а) \(1{,}25\cdot10^{10}\); б) \(7{,}2\cdot10^6\); в) \(1{,}280216\cdot10^3\).

2. а) \(1{,}2\cdot10^{-5}\); б) \(1{,}23\cdot10^{-7}\); в) \(4{,}9\cdot10^{-3}\).

3. а) \(2{,}1\cdot10^6\); б) \(3{,}456\cdot10^{-5}\); в) \(1{,}59\cdot10^3\).

4. а) \(3{,}018\cdot10^{-5}\); б) \(8{,}9\cdot10^4\); в) \(7\cdot10^{-8}\).

Ключевые шаги

1. Перевод периодических дробей

Если после запятой \(m\) непериодических цифр, а период содержит \(n\) цифр, то:

\[ I,a(b)=I+\frac{\overline{ab}-\overline a}{10^m(10^n-1)}. \]

Например:

\[ 0,1(63)=\frac{163-1}{10(100-1)} =\frac{162}{990} =\frac{9}{55}. \]

Остальные дроби:

\[ \begin{aligned} 1,(35)&=1+\frac{35}{99} =\frac{134}{99},\\ 16,(225)&=16+\frac{225}{999} =\frac{1801}{111},\\ 10,01(2)&=10+\frac{12-1}{100\cdot9} =\frac{9011}{900},\\ 8,21(031)&=8+\frac{21031-21}{100\cdot999} =\frac{82021}{9990}. \end{aligned} \]

2. Вычисления

1)

\[ 0,8(3)=\frac{83-8}{90}=\frac56,\qquad 0,4(6)=\frac{46-4}{90}=\frac7{15}. \]

Тогда:

\[ \frac{0,8(3)-0,4(6)}{0,(3)} = \frac{\frac56-\frac7{15}}{\frac13} = \frac{\frac{11}{30}}{\frac13} = \frac{11}{10}. \]

2)

\[ 3,(73)=\frac{370}{99},\qquad 0,2(19)=\frac{217}{990}, \]

\[ 3,5(18)=\frac{3518-35}{10\cdot99} =\frac{3483}{990}. \]

Поэтому:

\[ \frac{\frac{370}{99}-\frac{217}{990}} {\frac{3483}{990}} = \frac{\frac{3483}{990}}{\frac{3483}{990}} =1. \]

3)

\[ 0,(2)=\frac29,\qquad 3,6(1)=\frac{361-36}{90}=\frac{65}{18}. \]

Числитель:

\[ \frac29+\frac{65}{18}=\frac{23}{6}. \]

Знаменатель:

\[ 1,91(6)=\frac{1916-191}{900}=\frac{23}{12}, \qquad 1,8(3)=\frac{183-18}{90}=\frac{11}{6}. \]

\[ \frac{23}{12}-\frac{11}{6} =\frac1{12}. \]

Следовательно:

\[ \frac{\frac{23}{6}}{\frac1{12}}=46. \]

3. Стандартный вид

Стандартный вид имеет форму:

\[ a\cdot10^n,\qquad 1\leq a<10. \]

При переносе запятой влево показатель степени положительный, вправо — отрицательный. Например:

\[ 210\cdot10^4 =(2{,}1\cdot10^2)\cdot10^4 =2{,}1\cdot10^6, \]

\[ 0{,}0007\cdot10^{-4} =(7\cdot10^{-4})\cdot10^{-4} =7\cdot10^{-8}. \]

Все полученные коэффициенты находятся от \(1\) до \(10\), значит записи выполнены в стандартном виде.