Известно, что ф(х) = ах² +бх +с, ф(-3) < -5, ф (-1)>0, ф(1) < 4. докажите, что a < - 1/8

Краткий ответ:
\[ a<-\frac18. \]

Рассмотрим комбинацию значений функции: \[ f(-3)-2f(-1)+f(1). \]

Подставим \(f(x)=ax^2+bx+c\): \[ \begin{aligned} f(-3)-2f(-1)+f(1) &=(9a-3b+c)-2(a-b+c)+(a+b+c)\\ &=8a. \end{aligned} \]

Теперь используем условия: \[ f(-3)<-5,\qquad f(-1)>0,\qquad f(1)<4. \]

Так как \(f(-1)>0\), то \(-2f(-1)<0\). Поэтому \[ 8a=f(-3)-2f(-1)+f(1) <-5+0+4=-1. \]

Делим на положительное число \(8\): \[ \boxed{a<-\frac18}. \]

Принцип: у квадратичной функции разность \[ f(-3)-2f(-1)+f(1) \] «убирает» \(b\) и \(c\), оставляя \(8a\). Проверка: коэффициенты при \(b\) и \(c\) действительно равны \(0\), а при \(a\) получается \(9-2+1=8\).