Реши задание на изображении

Пришли, пожалуйста, фото задания № 80 крупнее или перепиши его условие — текст на изображении мне не виден.

Это продолжение текущей задачи № 80: ты прислал условие, которое нужно было уточнить.

Упростим выражения.

1. \[ a^{\frac19}\sqrt[6]{a^3\sqrt a} =a^{\frac19}\cdot a^{\frac{3+\frac12}{6}} =a^{\frac19+\frac{7}{12}} =a^{\frac{25}{36}}. \]

2. \[ b^{\frac1{12}}\sqrt[3]{b^4\sqrt b} =b^{\frac1{12}}\cdot b^{\frac{4+\frac12}{3}} =b^{\frac1{12}+\frac32} =b^{\frac{19}{12}}. \]

3. \[ \begin{aligned} &\left(\sqrt[3]{ab^{-2}}+(ab)^{-\frac16}\right)\sqrt[6]{ab^4}\\ &=\left(a^{\frac13}b^{-\frac23}+a^{-\frac16}b^{-\frac16}\right) a^{\frac16}b^{\frac23}\\ &=a^{\frac12}+b^{\frac12} =\sqrt a+\sqrt b. \end{aligned} \]

4. Обозначим \(x=\sqrt[3]{a}\), \(y=\sqrt[3]{b}\). Тогда: \[ (x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3. \] Следовательно, \[ \left(\sqrt[3]a+\sqrt[3]b\right) \left(a^{\frac23}+b^{\frac23}-\sqrt[3]{ab}\right)=a+b. \]

Ответ: \[ \boxed{1)\ a^{\frac{25}{36}};\quad 2)\ b^{\frac{19}{12}};\quad 3)\ \sqrt a+\sqrt b;\quad 4)\ a+b.} \]

Подробно разберём все четыре выражения из задания № 80.

Используем свойства степеней:

\[ \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}},\qquad x^p\cdot x^q=x^{p+q}. \]

1.

\[ a^{\frac19}\sqrt[6]{a^3\sqrt a} \]

Представим корень как степень:

\[ \sqrt a=a^{\frac12}. \]

Тогда подкоренное выражение:

\[ a^3\sqrt a=a^3\cdot a^{\frac12} =a^{3+\frac12} =a^{\frac72}. \]

Извлечём шестой корень:

\[ \sqrt[6]{a^{\frac72}} =\left(a^{\frac72}\right)^{\frac16} =a^{\frac{7}{12}}. \]

Теперь перемножим степени с одинаковым основанием:

\[ a^{\frac19}\cdot a^{\frac{7}{12}} =a^{\frac19+\frac{7}{12}}. \]

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[ \frac19=\frac4{36},\qquad \frac{7}{12}=\frac{21}{36}. \]

Поэтому

\[ a^{\frac4{36}+\frac{21}{36}} =a^{\frac{25}{36}}. \]

Ответ:

\[ \boxed{a^{\frac{25}{36}}} \]

---

2.

\[ b^{\frac1{12}}\sqrt[3]{b^4\sqrt b} \]

Представим квадратный корень в виде степени:

\[ \sqrt b=b^{\frac12}. \]

Тогда:

\[ b^4\sqrt b=b^4\cdot b^{\frac12} =b^{4+\frac12} =b^{\frac92}. \]

Извлечём кубический корень:

\[ \sqrt[3]{b^{\frac92}} =\left(b^{\frac92}\right)^{\frac13} =b^{\frac{9}{6}} =b^{\frac32}. \]

Теперь перемножим:

\[ b^{\frac1{12}}\cdot b^{\frac32} =b^{\frac1{12}+\frac32}. \]

Приведём к знаменателю \(12\):

\[ \frac32=\frac{18}{12}. \]

Получаем:

\[ b^{\frac1{12}+\frac{18}{12}} =b^{\frac{19}{12}}. \]

Ответ:

\[ \boxed{b^{\frac{19}{12}}} \]

---

3.

\[ \left(\sqrt[3]{ab^{-2}}+(ab)^{-\frac16}\right) \sqrt[6]{ab^4} \]

Преобразуем каждую часть в степень.

Первое слагаемое:

\[ \sqrt[3]{ab^{-2}} =(ab^{-2})^{\frac13} =a^{\frac13}b^{-\frac23}. \]

Второе слагаемое:

\[ (ab)^{-\frac16} =a^{-\frac16}b^{-\frac16}. \]

Шестой корень:

\[ \sqrt[6]{ab^4} =(ab^4)^{\frac16} =a^{\frac16}b^{\frac46} =a^{\frac16}b^{\frac23}. \]

Подставим полученные выражения:

\[ \left(a^{\frac13}b^{-\frac23} +a^{-\frac16}b^{-\frac16}\right) a^{\frac16}b^{\frac23}. \]

Раскроем скобки:

\[ a^{\frac13}b^{-\frac23} \cdot a^{\frac16}b^{\frac23} + a^{-\frac16}b^{-\frac16} \cdot a^{\frac16}b^{\frac23}. \]

В первом произведении складываем показатели степеней:

\[ a^{\frac13+\frac16}b^{-\frac23+\frac23} =a^{\frac12}b^0 =a^{\frac12}. \]

Во втором произведении:

\[ a^{-\frac16+\frac16}b^{-\frac16+\frac23} =a^0b^{-\frac16+\frac46} =b^{\frac36} =b^{\frac12}. \]

Следовательно,

\[ a^{\frac12}+b^{\frac12} =\sqrt a+\sqrt b. \]

Ответ:

\[ \boxed{\sqrt a+\sqrt b} \]

---

4.

\[ \left(\sqrt[3]a+\sqrt[3]b\right) \left(a^{\frac23}+b^{\frac23}-\sqrt[3]{ab}\right) \]

Обозначим:

\[ x=\sqrt[3]a,\qquad y=\sqrt[3]b. \]

Тогда:

\[ a^{\frac23}=\left(\sqrt[3]a\right)^2=x^2, \]

\[ b^{\frac23}=\left(\sqrt[3]b\right)^2=y^2, \]

\[ \sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]a\cdot\sqrt[3]b=xy. \]

Выражение примет вид:

\[ (x+y)(x^2+y^2-xy). \]

Переставим слагаемые во второй скобке:

\[ (x+y)(x^2-xy+y^2). \]

Это формула суммы кубов:

\[ (x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3. \]

Так как

\[ x^3=a,\qquad y^3=b, \]

получаем:

\[ x^3+y^3=a+b. \]

Ответ:

\[ \boxed{a+b} \]

Итог:

\[ \boxed{ 1)\ a^{\frac{25}{36}};\quad 2)\ b^{\frac{19}{12}};\quad 3)\ \sqrt a+\sqrt b;\quad 4)\ a+b } \]