10

Краткий ответ: \(\boxed{5}\).

По рисунку:

• \(\vec a\) направлен из \((1;3)\) в \((2;2)\), поэтому
  \[ \vec a=(1;-1). \]
• \(\vec b\) направлен из \((5;2)\) в \((3;3)\), поэтому
  \[ \vec b=(-2;1). \]

Вычислим: \[ 2\vec a-\vec b=2(1;-1)-(-2;1) =(2;-2)-(-2;1)=(4;-3). \]

Длина вектора: \[ |2\vec a-\vec b| =\sqrt{4^2+(-3)^2} =\sqrt{16+9} =\sqrt{25}=5. \]

Проверка: компоненты \(4\) и \(-3\) образуют прямоугольный треугольник со сторонами \(3\) и \(4\), его гипотенуза равна \(5\).