реши 26 27 и 28
Работа с дробями и объяснениями
Я сосредоточен(а) на некоторых алгебраических выражениях и их упрощении. Я хочу создать структурированный ответ для пользователя, включающий краткое введение на русском языке, в котором обобщаются допустимые значения переменных.
Я планирую подробно расписать вычисления для каждой части, отмечая основные правила, такие как вынесение общих множителей в числителе и знаменателе, и показать пошаговые упрощения. Это будет включать такие приёмы, как вынесение общего множителя и распознавание полных квадратов. Мне нужно представить ясные разложения каждого выражения на множители, чтобы пользователь понял, как решать аналогичные задачи.
Условия сокращения
Я думаю упомянуть, что любой сокращаемый множитель должен быть ненулевым, поскольку это важно из-за исходного знаменателя. Это необходимо для понимания того, как правильно упрощать дроби, сохраняя корректность выражений. Я хочу чётко объяснить пользователю, почему это условие имеет значение в данных вычислениях. Подчёркивание важности ненулевых знаменателей поможет предотвратить ошибки и обеспечит понимание основ безопасного сокращения в алгебре.
Упрощение алгебраических выражений
Я разбираю эту алгебраическую задачу, связанную с разностью квадратов и другими выражениями. Я замечаю, что некоторые части содержат квадраты и знаменатели. Встречаются формы вроде m² - n² в знаменателе и переход от выражений типа ax - ay к a(x - y). Я также вижу разложение на множители: например, 2ab - 6a упрощается до 2a(b - 3), а знаменатель превращается в (b - 3)². Кроме того, выражение n² - 4 раскладывается как (n - 2)(n + 2), а числитель — как 5n(n + 2).
Краткий ответ (при допустимых значениях переменных):
26
а) \(\displaystyle \frac{a-b}{m+n}\)
б) \(\displaystyle \frac{a}{b}\)
в) \(\displaystyle \frac{x}{y}\)
г) \(\displaystyle \frac{d-1}{d+1}\)
д) \(\displaystyle \frac{a+b}{a+c}\)
е) \(\displaystyle \frac{y}{x}\)
27
а) \(\displaystyle \frac{y}{y+1}\)
б) \(\displaystyle \frac{5}{a^2+1}\)
в) \(\displaystyle x^3\)
г) \(\displaystyle \frac{b-1}{b}\)
д) \(\displaystyle \frac{m(m-1)}{m+1}\)
е) \(\displaystyle \frac{1}{n^2}\)
28
а) \(\displaystyle x-3y\)
б) \(\displaystyle \frac{1}{a+2b}\)
в) \(\displaystyle \frac{m+n}{n}\)
г) \(\displaystyle \frac{a}{x-y}\)
д) \(\displaystyle \frac{2a}{b-3}\)
е) \(\displaystyle \frac{5n}{n-2}\)
Ключевые шаги
Главное правило: сначала разложить числитель и знаменатель на множители, а затем сократить одинаковые множители.
26
\[ \text{а)}\quad \frac{ax-bx}{mx+nx} =\frac{x(a-b)}{x(m+n)} =\frac{a-b}{m+n}. \]
\[ \text{б)}\quad \frac{am-an}{bm-bn} =\frac{a(m-n)}{b(m-n)} =\frac ab. \]
\[ \text{в)}\quad \frac{x^2-2x}{xy-2y} =\frac{x(x-2)}{y(x-2)} =\frac xy. \]
\[ \text{г)}\quad \frac{d^2-d}{d^2+d} =\frac{d(d-1)}{d(d+1)} =\frac{d-1}{d+1}. \]
\[ \text{д)}\quad \frac{a^2+ab}{a^2+ac} =\frac{a(a+b)}{a(a+c)} =\frac{a+b}{a+c}. \]
\[ \text{е)}\quad \frac{y^2+xy}{x^2+xy} =\frac{y(x+y)}{x(x+y)} =\frac yx. \]
27
\[ \text{а)}\quad \frac{y^3}{y^3+y^2} =\frac{y^3}{y^2(y+1)} =\frac{y}{y+1}. \]
\[ \text{б)}\quad \frac{5a^2}{a^4+a^2} =\frac{5a^2}{a^2(a^2+1)} =\frac{5}{a^2+1}. \]
\[ \text{в)}\quad \frac{x^5+x^3}{x^2+1} =\frac{x^3(x^2+1)}{x^2+1} =x^3. \]
\[ \text{г)}\quad \frac{b^5-b^4}{b^5} =\frac{b^4(b-1)}{b^5} =\frac{b-1}{b}. \]
\[ \text{д)}\quad \frac{m^4-m^3}{m^2+m^3} =\frac{m^3(m-1)}{m^2(m+1)} =\frac{m(m-1)}{m+1}. \]
\[ \text{е)}\quad \frac{n^2-n-1}{n^4-n^3-n^2} =\frac{n^2-n-1}{n^2(n^2-n-1)} =\frac1{n^2}. \]
28
Используем формулы:
\[ A^2-B^2=(A-B)(A+B),\qquad A^2+2AB+B^2=(A+B)^2. \]
\[ \text{а)}\quad \frac{x^2-9y^2}{x+3y} =\frac{(x-3y)(x+3y)}{x+3y} =x-3y. \]
\[ \text{б)}\quad \frac{a+2b}{a^2+4ab+4b^2} =\frac{a+2b}{(a+2b)^2} =\frac1{a+2b}. \]
\[ \text{в)}\quad \frac{m^2-n^2}{mn-n^2} =\frac{(m-n)(m+n)}{n(m-n)} =\frac{m+n}{n}. \]
\[ \text{г)}\quad \frac{ax-ay}{x^2-2xy+y^2} =\frac{a(x-y)}{(x-y)^2} =\frac a{x-y}. \]
\[ \text{д)}\quad \frac{2ab-6a}{b^2-6b+9} =\frac{2a(b-3)}{(b-3)^2} =\frac{2a}{b-3}. \]
\[ \text{е)}\quad \frac{5n^2+10n}{n^2-4} =\frac{5n(n+2)}{(n-2)(n+2)} =\frac{5n}{n-2}. \]
Проверка: например,
\[ \frac{5n}{n-2}\cdot\frac{n+2}{n+2} =\frac{5n(n+2)}{(n-2)(n+2)} =\frac{5n^2+10n}{n^2-4}. \]
Важно: сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые. Исходный знаменатель не должен быть равен нулю. Например, в 27а \(y\ne0\) и \(y\ne-1\), даже если после сокращения \(y=0\) допустим в новой дроби.
