реши 26 27 и 28
Исследование алгебраического разложения на множители
Мне нужно решить различные алгебраические выражения посредством разложения на множители, и я понимаю, что ограничения области определения также могут быть важны. Следует указать, что исходные знаменатели не должны быть равны нулю, а сокращаемые множители также не должны быть равны нулю. В школьной алгебре я хочу убедиться, что мои упрощения точны. Я также замечаю, что одно выражение содержит ограничение: x не может быть равен нулю, и m плюс n также не должны быть равны нулю. Давайте выведем решения шаг за шагом!
Уточнение уравнения
Мне нужно указать, что «a» не равно нулю. Для уравнения (x^5 + x^3) / (x^2 + 1) я могу упростить его до x^3, поскольку знаменатель (x^2 + 1) не равен нулю для действительных x. Я понимаю, что x^2 + 1 всегда больше нуля для действительных x, поэтому ограничений нет. Это интересно, поскольку выражение действительно существенно упрощается!
Решение математических задач
Я готовлюсь помочь с задачами 26, 27 и 28. Пользователь хочет сначала получить краткий ответ, затем основные шаги и окончательные ответы. Важно внимательно изучить изображение, чтобы не ошибиться при прочтении заданий.
В задаче 26, похоже, есть дроби, которые нужно разложить на множители и упростить. В 27, по-видимому, требуется то же самое, с определёнными шагами для сокращения каждого слагаемого. Наконец, 28 также требует различать разные инструкции по разложению на множители и сокращению дробей.
Мне нужно будет указать ограничения для математической корректности.
Проверка математических ограничений
Я рассматриваю возможную проблему со знаменателем «mx + nx». Думаю, важно включить ограничения в итоговый список. Например, в 26(a) знаменатель \(mx + nx\) обращается в ноль, если \(x = 0\) или \(m + n = 0\). В 26(b) знаменатель допустим, если только \(b = 0\) или \(m \neq n\).
Я продолжу проверять остальные случаи, чтобы убедиться, что все ограничения учтены правильно; важно сделать это внимательно!
Краткие ответы
26.
а) \(\dfrac{a-b}{m+n}\);
б) \(\dfrac{a}{b}\);
в) \(\dfrac{x}{y}\);
г) \(\dfrac{d-1}{d+1}\);
д) \(\dfrac{a+b}{a+c}\);
е) \(\dfrac{y}{x}\).
27.
а) \(\dfrac{y}{y+1}\);
б) \(\dfrac{5}{a^2+1}\);
в) \(x^3\);
г) \(\dfrac{b-1}{b}\);
д) \(\dfrac{m(m-1)}{m+1}\);
е) \(\dfrac{1}{n^2}\).
28.
а) \(x-3y\);
б) \(\dfrac{1}{a+2b}\);
в) \(\dfrac{m+n}{n}\);
г) \(\dfrac{a}{x-y}\);
д) \(\dfrac{2a}{b-3}\);
е) \(\dfrac{5n}{n-2}\).
Принцип
Сначала раскладываем числитель и знаменатель на множители, затем сокращаем одинаковые множители:
\[ \frac{A\cdot B}{A\cdot C}=\frac{B}{C},\qquad A\ne0. \]
Нельзя сокращать отдельные слагаемые.
Задание 26
\[ \text{а) }\frac{ax-bx}{mx+nx} =\frac{x(a-b)}{x(m+n)} =\frac{a-b}{m+n}. \]
\[ \text{б) }\frac{am-an}{bm-bn} =\frac{a(m-n)}{b(m-n)} =\frac ab. \]
\[ \text{в) }\frac{x^2-2x}{xy-2y} =\frac{x(x-2)}{y(x-2)} =\frac xy. \]
\[ \text{г) }\frac{d^2-d}{d^2+d} =\frac{d(d-1)}{d(d+1)} =\frac{d-1}{d+1}. \]
\[ \text{д) }\frac{a^2+ab}{a^2+ac} =\frac{a(a+b)}{a(a+c)} =\frac{a+b}{a+c}. \]
\[ \text{е) }\frac{y^2+xy}{x^2+xy} =\frac{y(x+y)}{x(x+y)} =\frac yx. \]
Задание 27
\[ \text{а) }\frac{y^3}{y^3+y^2} =\frac{y^3}{y^2(y+1)} =\frac{y}{y+1}. \]
\[ \text{б) }\frac{5a^2}{a^4+a^2} =\frac{5a^2}{a^2(a^2+1)} =\frac{5}{a^2+1}. \]
\[ \text{в) }\frac{x^5+x^3}{x^2+1} =\frac{x^3(x^2+1)}{x^2+1} =x^3. \]
\[ \text{г) }\frac{b^5-b^4}{b^5} =\frac{b^4(b-1)}{b^5} =\frac{b-1}{b}. \]
\[ \text{д) }\frac{m^4-m^3}{m^2+m^3} =\frac{m^3(m-1)}{m^2(m+1)} =\frac{m(m-1)}{m+1}. \]
\[ \text{е) }\frac{n^2-n-1}{n^4-n^3-n^2} =\frac{n^2-n-1}{n^2(n^2-n-1)} =\frac1{n^2}. \]
Задание 28
Используем формулы:
\[ u^2-v^2=(u-v)(u+v),\qquad u^2+2uv+v^2=(u+v)^2. \]
\[ \text{а) }\frac{x^2-9y^2}{x+3y} =\frac{(x-3y)(x+3y)}{x+3y} =x-3y. \]
\[ \text{б) }\frac{a+2b}{a^2+4ab+4b^2} =\frac{a+2b}{(a+2b)^2} =\frac1{a+2b}. \]
\[ \text{в) }\frac{m^2-n^2}{mn-n^2} =\frac{(m-n)(m+n)}{n(m-n)} =\frac{m+n}{n}. \]
\[ \text{г) }\frac{ax-ay}{x^2-2xy+y^2} =\frac{a(x-y)}{(x-y)^2} =\frac{a}{x-y}. \]
\[ \text{д) }\frac{2ab-6a}{b^2-6b+9} =\frac{2a(b-3)}{(b-3)^2} =\frac{2a}{b-3}. \]
\[ \text{е) }\frac{5n^2+10n}{n^2-4} =\frac{5n(n+2)}{(n-2)(n+2)} =\frac{5n}{n-2}. \]
ОДЗ исходных дробей: после сокращения нужно сохранять запреты на нулевой знаменатель. Например, в 28а \(x+3y\ne0\), в 28д \(b\ne3\), в 28е \(n\ne2\) и \(n\ne-2\). Это и подтверждает корректность сокращения.
