реши 26 27 и 28
Проверка ограничений выражения
Я думаю о том, что числитель может быть равен нулю и как это влияет на равенство выражения в его области определения. Даже если множитель сокращается, корни \(n² - n - 1\) не должны быть равны нулю. Для школьного уровня, возможно, нет необходимости подробно разбирать эти ограничения, но следует упомянуть, что сокращение происходит только для ненулевых общих множителей в исходном знаменателе. Я не хочу чрезмерно усложнять задачу!
Описание процесса получения ответов
Сначала мне нужно дать краткий ответ, а затем привести основные шаги. Для перечисления преобразований я использую «Краткие ответы» и должен сделать это на русском языке. Интересно, стоит ли исключить ограничения области определения из кратких ответов, хотя они могут быть полезны. Важно объяснить принцип вынесения общих множителей за скобки и сокращения только ненулевых множителей. Кроме того, мне нужно внимательно изучить изображение.
Проверка знаменателей в уравнениях
Я разбираю несколько выражений. Сначала для исходного знаменателя \(y^3 + y^2\) я нахожу разложение \(y^2(y + 1)\), откуда следует, что \(y\) не может быть равен 0 или -1; после сокращения получаю \(y/(y + 1)\).
Далее, рассматривая \(a^4 + a^2\), я также могу разложить его: \(a^2(a^2 + 1)\). Это означает, что \(a\) не должен быть равен 0, а поскольку \(a^2 + 1\) никогда не равен нулю на множестве действительных чисел, я получаю \(5/(a^2 + 1)\).
Наконец, знаменатель \(x^2 + 1\) никогда не равен нулю на множестве действительных чисел, поэтому результат равен \(x^3\).
Краткие ответы
26.
- а) \(\dfrac{a-b}{m+n}\)
- б) \(\dfrac{a}{b}\)
- в) \(\dfrac{x}{y}\)
- г) \(\dfrac{d-1}{d+1}\)
- д) \(\dfrac{a+b}{a+c}\)
- е) \(\dfrac{y}{x}\)
27.
- а) \(\dfrac{y}{y+1}\)
- б) \(\dfrac{5}{a^2+1}\)
- в) \(x^3\)
- г) \(\dfrac{b-1}{b}\)
- д) \(\dfrac{m(m-1)}{m+1}\)
- е) \(\dfrac{1}{n^2}\)
28.
- а) \(x-3y\)
- б) \(\dfrac{1}{a+2b}\)
- в) \(\dfrac{m+n}{n}\)
- г) \(\dfrac{a}{x-y}\)
- д) \(\dfrac{2a}{b-3}\)
- е) \(\dfrac{5n}{n-2}\)
Решение
Главное правило: сначала разложить числитель и знаменатель на множители, затем сократить общий множитель.
26
а)
\[
\frac{ax-bx}{mx+nx}
=\frac{x(a-b)}{x(m+n)}
=\frac{a-b}{m+n}.
\]
б)
\[
\frac{am-an}{bm-bn}
=\frac{a(m-n)}{b(m-n)}
=\frac ab.
\]
в)
\[
\frac{x^2-2x}{xy-2y}
=\frac{x(x-2)}{y(x-2)}
=\frac xy.
\]
г)
\[
\frac{d^2-d}{d^2+d}
=\frac{d(d-1)}{d(d+1)}
=\frac{d-1}{d+1}.
\]
д)
\[
\frac{a^2+ab}{a^2+ac}
=\frac{a(a+b)}{a(a+c)}
=\frac{a+b}{a+c}.
\]
е)
\[
\frac{y^2+xy}{x^2+xy}
=\frac{y(x+y)}{x(x+y)}
=\frac yx.
\]
27
а)
\[
\frac{y^3}{y^3+y^2}
=\frac{y^3}{y^2(y+1)}
=\frac{y}{y+1}.
\]
б)
\[
\frac{5a^2}{a^4+a^2}
=\frac{5a^2}{a^2(a^2+1)}
=\frac{5}{a^2+1}.
\]
в)
\[
\frac{x^5+x^3}{x^2+1}
=\frac{x^3(x^2+1)}{x^2+1}
=x^3.
\]
г)
\[
\frac{b^5-b^4}{b^5}
=\frac{b^4(b-1)}{b^5}
=\frac{b-1}{b}.
\]
д)
\[
\frac{m^4-m^3}{m^2+m^3}
=\frac{m^3(m-1)}{m^2(m+1)}
=\frac{m(m-1)}{m+1}.
\]
е)
\[
\frac{n^2-n-1}{n^4-n^3-n^2}
=\frac{n^2-n-1}{n^2(n^2-n-1)}
=\frac1{n^2}.
\]
28
а)
\[
\frac{x^2-9y^2}{x+3y}
=\frac{(x-3y)(x+3y)}{x+3y}
=x-3y.
\]
б)
\[
\frac{a+2b}{a^2+4ab+4b^2}
=\frac{a+2b}{(a+2b)^2}
=\frac1{a+2b}.
\]
в)
\[
\frac{m^2-n^2}{mn-n^2}
=\frac{(m-n)(m+n)}{n(m-n)}
=\frac{m+n}{n}.
\]
г)
\[
\frac{ax-ay}{x^2-2xy+y^2}
=\frac{a(x-y)}{(x-y)^2}
=\frac{a}{x-y}.
\]
д)
\[
\frac{2ab-6a}{b^2-6b+9}
=\frac{2a(b-3)}{(b-3)^2}
=\frac{2a}{b-3}.
\]
е)
\[
\frac{5n^2+10n}{n^2-4}
=\frac{5n(n+2)}{(n-2)(n+2)}
=\frac{5n}{n-2}.
\]
Проверка: сокращать можно только общий множитель, который не равен нулю. Поэтому сохраняются ограничения исходной дроби: например, в 28е \(n\ne2\) и \(n\ne-2\), хотя после сокращения в знаменателе остался только \(n-2\).
