разбери как сделать пересечение
Краткий ответ: \[ x\in(-1;8]. \]
Нужно найти пересечение решений двух неравенств, то есть значения \(x\), которые подходят сразу обоим.
1. Решаем первое неравенство
\[ (x-2)(x^2+2x+4)-x^3<8x \]
Используем формулу разности кубов:
\[ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3. \]
Здесь \(a=x\), \(b=2\), поэтому:
\[ (x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8. \]
Тогда:
\[ x^3-8-x^3<8x, \]
\[ -8<8x, \]
\[ x>-1. \]
Получили промежуток:
\[ x\in(-1;+\infty). \]
2. Решаем второе неравенство
\[ 3x-16\le x \]
\[ 2x\le16, \]
\[ x\le8. \]
Получили:
\[ x\in(-\infty;8]. \]
3. Находим пересечение
Одновременно должны выполняться:
\[ x>-1 \quad\text{и}\quad x\le8. \]
Общие значения:
\[ \boxed{x\in(-1;8]}. \]
Точка \(-1\) не входит, потому что стоит знак \(>\), а точка \(8\) входит, потому что стоит знак \(\le\).
Обсуждение
4 сообщенияПокажи, как отметить это пересечение на числовой прямой.
Пересечение \(\boxed{(-1;8]}\) отмечаем так:
○====================●
-1 8
- в точке \(-1\) — выколотая точка \(○\), потому что \(-1\) не входит;
- в точке \(8\) — закрашенная точка \(●\), потому что \(8\) входит;
- отрезок между ними закрашиваем, так как подходят все числа между \(-1\) и \(8\).
То есть:
\[ -1<x\le 8. \]
ты решал параболой или методом интервалов?
Ни параболой, ни методом интервалов — здесь они не нужны.
В первом неравенстве использовалась формула разности кубов:
\[ (x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8. \]
Тогда:
\[ x^3-8-x^3<8x \Rightarrow -8<8x \Rightarrow x>-1. \]
Второе неравенство линейное:
\[ 3x-16\le x \Rightarrow x\le8. \]
Затем пересекли два промежутка:
\[ (-1;+\infty)\cap(-\infty;8]=\boxed{(-1;8]}. \]
Метод интервалов понадобился бы, если после преобразований осталось произведение нескольких множителей.
