номер 371

Краткий ответ: в обоих случаях выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) является параллелограммом.

а)

1. По условию
   \[ \angle BAC=\angle ACD. \] Это накрест лежащие углы при секущей \(AC\) для прямых \(AB\) и \(CD\). Поэтому
   \[ AB\parallel CD. \]

2. Также
   \[ \angle BCA=\angle DAC. \] Это накрест лежащие углы при секущей \(AC\) для прямых \(BC\) и \(AD\). Значит,
   \[ BC\parallel AD. \]

У четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.

б)

Дано:
\[ AB\parallel CD,\qquad \angle A=\angle C. \]

Так как \(AB\parallel CD\), то при секущей \(AD\) внутренние односторонние углы дополняют друг друга до \(180^\circ\):

\[ \angle A+\angle D=180^\circ. \]

По условию \(\angle A=\angle C\), значит,

\[ \angle C+\angle D=180^\circ. \]

Углы \(\angle C\) и \(\angle D\) — внутренние односторонние углы для прямых \(BC\) и \(AD\), поэтому

\[ BC\parallel AD. \]

Итак, \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\). Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.

Принцип: чтобы доказать, что выпуклый четырёхугольник — параллелограмм, достаточно доказать параллельность обеих пар его противоположных сторон.