реши номер 750

Краткий ответ: утверждение и обратное ему верны.

Пусть \(M\) — середина \(AD\), а \(N\) — середина \(BC\). Обозначим радиус-векторы точек буквами \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\).

Для середины отрезка используется формула:

\[ \overrightarrow{OM}=\frac{\vec a+\vec d}{2},\qquad \overrightarrow{ON}=\frac{\vec b+\vec c}{2}. \]

1. Докажем прямое утверждение

Пусть

\[ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}. \]

Тогда

\[ \vec b-\vec a=\vec d-\vec c, \]

откуда

\[ \vec a+\vec d=\vec b+\vec c. \]

Следовательно,

\[ \overrightarrow{OM} =\frac{\vec a+\vec d}{2} =\frac{\vec b+\vec c}{2} =\overrightarrow{ON}. \]

Значит, точки \(M\) и \(N\) совпадают. То есть середины отрезков \(AD\) и \(BC\) совпадают.

2. Докажем обратное утверждение

Пусть середины \(AD\) и \(BC\) совпадают, то есть \(M=N\). Тогда

\[ \frac{\vec a+\vec d}{2} = \frac{\vec b+\vec c}{2}. \]

Умножим обе части на \(2\):

\[ \vec a+\vec d=\vec b+\vec c. \]

Переносим слагаемые:

\[ \vec b-\vec a=\vec d-\vec c. \]

Но

\[ \vec b-\vec a=\overrightarrow{AB},\qquad \vec d-\vec c=\overrightarrow{CD}. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}}. \]

Проверка: в обоих направлениях получается одно и то же равенство

\[ \vec a+\vec d=\vec b+\vec c. \]