38

Краткий ответ:

• а) \(x<24\)
• б) \(x<6\)
• в) \(x\in\mathbb R\) — любое число
• г) \(x>5\)
• д) \(x>-1\)
• е) \(x\in\mathbb R\) — любое число

Решение

а)
\[ \frac14x-\frac16x+5>\frac13x-1 \] Умножим на \(12\): \[ 3x-2x+60>4x-12 \] \[ x+60>4x-12 \] \[ 72>3x \] \[ x<24. \]

б)
\[ \frac12x-3<2-\frac13x \] Умножим на \(6\): \[ 3x-18<12-2x \] \[ 5x<30 \] \[ x<6. \]

в)
\[ 1-\frac37x-5<6-\frac13x-\frac{2}{21}x \] Соберём подобные слагаемые: \[ -4-\frac37x<6-\left(\frac7{21}+\frac2{21}\right)x \] \[ -4-\frac37x<6-\frac37x. \] Одинаковые слагаемые сокращаются: \[ -4<6. \] Это верное утверждение при любом \(x\), поэтому \[ x\in\mathbb R. \]

г)
\[ 2x-\frac35x>1\frac12x-\frac12-\frac25x+2 \] \[ \frac75x>\left(\frac32-\frac25\right)x+\frac32 \] \[ \frac75x>\frac{11}{10}x+\frac32. \] Умножим на \(10\): \[ 14x>11x+15 \] \[ 3x>15 \] \[ x>5. \]

д)
\[ \frac25x-1<\frac34x-\frac{13}{20} \] Умножим на \(20\): \[ 8x-20<15x-13 \] \[ -7x<7. \] Делим на отрицательное число \(-7\), поэтому знак меняется: \[ x>-1. \]

е)
\[ 3-\frac14x+\frac13x<14+\frac1{12}x \] Так как \[ -\frac14+\frac13=\frac1{12}, \] получаем: \[ 3+\frac1{12}x<14+\frac1{12}x. \] Сокращаем одинаковые слагаемые: \[ 3<14. \] Это верно при любом \(x\), значит \[ x\in\mathbb R. \]

Проверка границ: при \(x=24,\ 6,\ 5,\ -1\) соответственно получается равенство, поэтому эти значения не входят в решения строгих неравенств.