Реши задание на изображении

Краткий ответ: \[ DE=\frac{10}{3},\qquad S_{\triangle ADE}=\frac{40}{3}. \]

Решение

Так как \(DE\perp AC\) и \(BC\perp AC\), то \[ DE\parallel BC. \]

Из условия \(AD=2\cdot DB\), значит \[ AB=AD+DB=3DB, \] поэтому \[ \frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}. \]

Треугольники \(ADE\) и \(ABC\) подобны по двум углам:

• \(\angle A\) — общий;
• \(\angle E=\angle C=90^\circ\).

Коэффициент подобия: \[ \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac23. \]

Тогда \[ DE=BC\cdot\frac23=5\cdot\frac23=\frac{10}{3}, \] а \[ AE=AC\cdot\frac23=12\cdot\frac23=8. \]

Площадь прямоугольного треугольника \(ADE\): \[ S_{\triangle ADE}=\frac12\cdot AE\cdot DE =\frac12\cdot 8\cdot\frac{10}{3} =\frac{40}{3}. \]

Проверка: площадь \(ABC\) равна \(30\), а площади подобных треугольников относятся как \(\left(\frac23\right)^2\): \[ 30\cdot\frac49=\frac{40}{3}. \]