1.7
Анализ текста на изображении
Я вижу строку: 4) y = \frac{1}{4,8 - 4x}; и задаюсь вопросом, не должен ли перед дробью стоять знак минус. На изображении указано: 3) y = \frac{7}{1,2x - 6}; и 4) y = \frac{1}{4,8 - 4x}. Возможно, фактическая запись y в четвёртой строке должна содержать знак минус.
Учитывая ориентацию изображения, вижу, что оно расположено боком; для ясности его следует повернуть по часовой стрелке, поскольку это влияет на восприятие текста.
Восстановление уравнений по изображению
Я рассматриваю предоставленный пользователем фрагмент изображения. После «1.7» центральное уравнение выглядит так: 1) y = 7 - 1,4x;, под ним находится 3) y = [дробь 7 / 1,2x - 6];, затем справа — 2) y = -9 + 3x; и, наконец, 4) y = [дробь 1 / 4,8 - 4x].
Изображение можно мысленно увеличить. Моё внимание должно быть сосредоточено на общем понимании того, что область значений любой ненулевой константы, делённой на линейный знаменатель, состоит из всех действительных чисел, кроме нуля, поэтому здесь нет проблемы.
Возможно, стоит сформулировать ответ как на английском, так и на исходном языке для контекста.
Формулирование ответов
Вот краткое резюме моего подхода:
- Для первого уравнения: E(y) = R
- Для второго: E(y) = R
- Для третьего: E(y) = R{0}
- Для четвёртого: E(y) = R{0}
Теперь объяснение: в уравнении y = ax + b, если a ≠ 0, любое значение y может быть получено при x = (y - b) / a, поэтому область значений — все действительные числа R. В рассматриваемых случаях коэффициенты ненулевые для первого уравнения (-1.4) и для второго (3).
Краткий ответ:
\(y=7-1{,}4x\):
\[ E(y)=\mathbb R. \]\(y=-9+3x\):
\[ E(y)=\mathbb R. \]\[ y=\frac{7}{1{,}2x-6}: \qquad E(y)=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
\[ y=\frac{1}{4{,}8-4x}: \qquad E(y)=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
Объяснение
1–2. Линейные функции
Функция вида \(y=kx+b\), где \(k\ne0\), принимает любое действительное значение. Поэтому:
\[ E(y)=\mathbb R. \]
Здесь коэффициенты при \(x\) равны \(-1{,}4\) и \(3\), то есть не равны нулю.
3–4. Дробно-линейные функции
В функциях вида
\[ y=\frac{c}{ax+b}, \qquad c\ne0, \]
значение \(y=0\) невозможно: числитель не равен нулю.
Все остальные значения функция принимает. Например, для третьей функции при любом \(y\ne0\):
\[ y=\frac{7}{1{,}2x-6} \quad\Rightarrow\quad 1{,}2x-6=\frac7y, \]
значит, подходящее \(x\) существует.
Для четвёртой функции рассуждение такое же. Поэтому из множества значений исключается только ноль:
\[ \boxed{\mathbb R\setminus\{0\}}. \]
Проверка: знаменатели не могут быть равны нулю, но это ограничивает значения \(x\), а не добавляет какое-либо значение \(y\).
Обсуждение
12 сообщенийПокажи похожий пример и объясни его область значений
Рассмотрим похожую функцию:
\[ y=\frac{8}{2x-6}. \]
Найдём её область значений — все значения, которые может принимать \(y\).
1. Значение \(y=0\) невозможно
Числитель равен \(8\), поэтому дробь не может быть равна нулю:
\[ \frac{8}{2x-6}\ne0. \]
Значит, \(0\) нужно исключить.
2. Любое другое значение возможно
Пусть \(y\ne0\). Решим уравнение относительно \(x\):
\[ y=\frac{8}{2x-6}, \]
\[ y(2x-6)=8, \]
\[ 2xy-6y=8, \]
\[ x=\frac{8+6y}{2y}. \]
Такое \(x\) существует при любом \(y\ne0\).
Следовательно, область значений:
\[ \boxed{E(y)=\mathbb R\setminus\{0\}} \]
или
\[ \boxed{E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)}. \]
Важно: условие \(2x-6\ne0\), то есть \(x\ne3\), ограничивает область определения, а не область значений.
Что такое r
\(\mathbb R\) — это множество всех действительных чисел:
\[ \mathbb R=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}, \]
а также дроби, десятичные и иррациональные числа, например \(0{,}5\), \(-\frac34\), \(\sqrt2\).
В записи
\[ \mathbb R\setminus\{0\} \]
символ \(\setminus\) означает «исключая», поэтому это все действительные числа, кроме нуля.
Дай полный ответ для первого
Для первой функции
\[ y=7-1{,}4x \]
найдём область значений.
Коэффициент при \(x\) равен \(-1{,}4\), то есть не равен нулю. Поэтому при изменении \(x\) функция может принимать любые действительные значения.
Проверим это: выразим \(x\) через \(y\):
\[ y=7-1{,}4x, \]
\[ 1{,}4x=7-y, \]
\[ x=\frac{7-y}{1{,}4}. \]
При любом действительном \(y\) значение \(x\) также будет действительным. Значит, функция принимает все действительные значения.
\[ \boxed{E(y)=\mathbb R} \]
Или в виде промежутка:
\[ \boxed{E(y)=(-\infty;+\infty)}. \]
Ответ: область значений функции \(y=7-1{,}4x\) — все действительные числа.
Дай полный ответ для второго
Для второй функции
\[ y=-9+3x \]
найдём область значений.
Коэффициент при \(x\) равен \(3\), то есть не равен нулю. Поэтому функция может принимать любые действительные значения.
Проверим это, выразив \(x\) через \(y\):
\[ y=-9+3x, \]
\[ 3x=y+9, \]
\[ x=\frac{y+9}{3}. \]
При любом действительном \(y\) значение \(x\) также будет действительным. Значит, функция принимает все действительные значения:
\[ \boxed{E(y)=\mathbb R} \]
или
\[ \boxed{E(y)=(-\infty;+\infty)}. \]
Ответ: область значений функции \(y=-9+3x\) — все действительные числа.
Дай полный ответ для третьего
Для третьей функции
\[ y=\frac{7}{1{,}2x-6} \]
найдём область значений.
Сначала определим, при каких \(x\) функция существует:
\[ 1{,}2x-6\ne0, \]
\[ 1{,}2x\ne6, \]
\[ x\ne5. \]
Теперь выясним, какие значения может принимать \(y\).
Числитель равен \(7\), поэтому дробь не может быть равна нулю:
\[ \frac{7}{1{,}2x-6}\ne0. \]
Следовательно, значение \(y=0\) нужно исключить.
Проверим, что любое другое значение возможно. Выразим \(x\) через \(y\):
\[ y=\frac{7}{1{,}2x-6}, \]
\[ y(1{,}2x-6)=7, \]
\[ 1{,}2xy-6y=7, \]
\[ 1{,}2xy=7+6y, \]
\[ x=\frac{7+6y}{1{,}2y}. \]
Эта формула существует при \(y\ne0\). Значит, функция принимает все действительные значения, кроме нуля.
\[ \boxed{E(y)=\mathbb R\setminus\{0\}} \]
или
\[ \boxed{E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)}. \]
Ответ: область значений функции
\[ \boxed{y=\frac{7}{1{,}2x-6}} \]
— все действительные числа, кроме нуля.
Сделай 4
Для четвёртой функции
\[ y=\frac{1}{4{,}8-4x} \]
найдём область значений.
Сначала определим область определения:
\[ 4{,}8-4x\ne0, \]
\[ 4x\ne4{,}8, \]
\[ x\ne1{,}2. \]
Теперь найдём, какие значения может принимать \(y\).
Числитель равен \(1\), поэтому дробь не может быть равна нулю:
\[ \frac{1}{4{,}8-4x}\ne0. \]
Значит, значение \(y=0\) нужно исключить.
Проверим, что любое другое значение возможно. Выразим \(x\) через \(y\):
\[ y=\frac{1}{4{,}8-4x}, \]
\[ y(4{,}8-4x)=1, \]
\[ 4{,}8y-4xy=1, \]
\[ 4xy=4{,}8y-1, \]
\[ x=\frac{4{,}8y-1}{4y}. \]
Эта формула имеет смысл при \(y\ne0\). Следовательно, функция принимает все действительные значения, кроме нуля.
\[ \boxed{E(y)=\mathbb R\setminus\{0\}} \]
или
\[ \boxed{E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)}. \]
Ответ: область значений функции
\[ \boxed{y=\frac{1}{4{,}8-4x}} \]
— все действительные числа, кроме нуля.
