простыми словами
Интерпретация запроса пользователя
Мне нужно предоставить пользователю ответ по поводу его задания, связанного с 9 классом и изображениями страниц учебника 33–36. Похоже, ему нужно простое объяснение главы или, возможно, решение упражнения. Есть некоторая неоднозначность, поскольку не указано, какое именно упражнение требуется решить. На изображениях представлены теория о функциях и их свойствах, а также упражнения 98, 99 и вплоть до 106. Я должен дать краткое содержание материала и уточнить, что при необходимости могу помочь с конкретными упражнениями.
Краткий обзор содержания
Мне нужно ответить на запрос пользователя, не задавая уточняющих вопросов, даже если он неоднозначен. Поскольку он просит простое объяснение, а не решение конкретного упражнения, я могу дать общий обзор материала. Я объясню, что изображения посвящены разделу 3 о функциях и их свойствах, кратко изложив определения и примеры. На первом изображении вводится понятие функции, связывающей значения x и y, а на втором показан график с областью определения, нулями функции и промежутками знакопостоянства. Я должен внимательно изучить изображения, чтобы обеспечить точность.
Анализ поведения функции
Мне нужно проанализировать поведение функции на промежутках возрастания и убывания. Функция возрастает на промежутках [-6; -1] и [3; 6], а убывает на промежутке [-1; 3]. Теперь нужно определить максимальное значение — в частности, действительно ли f(6) является наибольшим значением. Чтобы подтвердить это, нужно проверить, что f(6) действительно является наибольшим значением среди всех значений на заданных промежутках. Похоже, более ясное понимание поведения функции можно получить, рассмотрев значения в критических точках.
Коротко: функция — это правило, по которому каждому допустимому значению \(x\) соответствует ровно одно значение \(y\).
Как читать график функции
Область определения \(D(f)\) — все значения \(x\), которые встречаются на графике.
Чтобы её найти, мысленно «опускаем» график на ось \(x\).Область значений \(E(f)\) — все значения \(y\), которые принимает функция.
Для этого мысленно «проектируем» график на ось \(y\).Нули функции — точки, где график пересекает ось \(x\).
Там \(y=0\).Знак функции:
- график выше оси \(x\) — \(f(x)>0\);
- график ниже оси \(x\) — \(f(x)<0\).
Возрастание и убывание:
- слева направо график поднимается — функция возрастает;
- слева направо график опускается — функция убывает.
Наибольшее и наименьшее значения — самая высокая и самая низкая точки графика.
Пример с рисунка 9
- \(D(f)=[-6;6]\);
- нули функции: \(x=-5,\;1,\;5\);
- функция положительна на \((-5;1)\) и \((5;6]\);
- отрицательна на \([-6;-5)\) и \((1;5)\);
- возрастает на \([-6;-1]\) и \([3;6]\);
- убывает на \([-1;3]\);
- наибольшее значение достигается при \(x=6\);
- наименьшее — при \(x=3\);
- \(E(f)=[-5;6]\).
Круглые скобки означают, что конец промежутка не входит, квадратные — что входит.
Чётная и нечётная функция
Чётная функция имеет симметричный относительно оси \(y\) график:
\[ f(-x)=f(x). \]
Пример:
\[ y=x^2. \]
Нечётная функция имеет симметричный относительно начала координат график:
\[ f(-x)=-f(x). \]
Пример:
\[ y=x^3. \]
Если ни одной симметрии нет, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Как находить область определения по формуле
У многочлена область определения — все числа:
\[ y=x^2+3x-25,\qquad D(f)=\mathbb R. \]Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[ y=\sqrt{5-3x},\quad 5-3x\ge0, \] поэтому
\[ D(f)=(-\infty;\tfrac53]. \]Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
\[ y=\frac{x^2-1}{x+1},\quad x+1\ne0, \] поэтому
\[ D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty). \]\(x^2+1\) никогда не равен нулю, поэтому
\[ D\left(\frac{x+1}{x^2+1}\right)=\mathbb R. \]
