внение x² − 5x + 6 = 0
Исследование решений с помощью дискриминанта
Я думаю о том, как подойти к решению уравнений с помощью дискриминанта. Интересно, будет ли это правильным следующим шагом и достаточно ли подробно я уже объяснил процесс. Важно убедиться, что всё ясно и что я не пропускаю ничего существенного. Я хочу помочь пользователю хорошо понять эту концепцию! Поэтому я постараюсь дать исчерпывающий ответ, который проведёт через применение дискриминанта.
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Решение:
Нужно разложить квадратный трёхчлен на множители. Ищем два числа, произведение которых равно \(6\), а сумма — \(-5\):
\[ -2\cdot(-3)=6,\qquad -2+(-3)=-5. \]
Поэтому:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Получаем:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]
Отсюда:
\[ \boxed{x_1=2,\ x_2=3}. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня подходят.
Обсуждение
4 сообщенияКак решать такие уравнения через дискриминант?
Решение квадратного уравнения через дискриминант:
Дано:
\[ x^2-5x+6=0. \]
1. Определяем коэффициенты
Сравниваем с общим видом:
\[ ax^2+bx+c=0. \]
Здесь:
\[ a=1,\qquad b=-5,\qquad c=6. \]
2. Находим дискриминант
Формула:
\[ D=b^2-4ac. \]
Подставляем:
\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1. \]
3. Находим корни
Если \(D\geq0\), корни вычисляются по формуле:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]
Тогда:
\[ x_1=\frac{-(-5)+\sqrt1}{2\cdot1} =\frac{5+1}{2}=3, \]
\[ x_2=\frac{-(-5)-\sqrt1}{2\cdot1} =\frac{5-1}{2}=2. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=3,\qquad x_2=2}. \]
Запомни правило:
- \(D>0\) — два корня;
- \(D=0\) — один корень;
- \(D<0\) — действительных корней нет.
Как решать такие уравнения через дискриминант?
Для квадратного уравнения вида
\[ ax^2+bx+c=0 \]
действуй так:
- Определи коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\).
- Вычисли дискриминант:
\[ D=b^2-4ac. \]
- Определи количество корней:
- если \(D>0\), два корня;
- если \(D=0\), один корень;
- если \(D<0\), действительных корней нет.
- При \(D\ge 0\) используй формулу:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]
Для уравнения
\[ x^2-5x+6=0 \]
имеем:
\[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6. \]
Находим дискриминант:
\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1. \]
Так как \(D>0\), будет два корня:
\[ x_1=\frac{-(-5)+\sqrt1}{2\cdot1} =\frac{5+1}{2}=3, \]
\[ x_2=\frac{-(-5)-\sqrt1}{2\cdot1} =\frac{5-1}{2}=2. \]
\[ \boxed{x_1=3,\quad x_2=2} \]
