Помоги разобрать тему формулы сокращённого умножения
Краткий ответ
Формулы сокращённого умножения помогают быстро раскрывать скобки и раскладывать выражения на множители:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]
\[ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \]
\[ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \]
\[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \]
\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \]
Главный принцип
Например:
\[ (a+b)^2=(a+b)(a+b) \]
Раскроем скобки:
\[ a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2. \]
Поэтому при возведении суммы в квадрат нужно:
- возвести в квадрат первый член;
- прибавить удвоенное произведение первого и второго членов;
- прибавить квадрат второго члена.
Пример 1. Раскрытие скобок
\[ (2x-3)^2 \]
Здесь \(a=2x\), \(b=3\). Используем формулу разности квадратов:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
Получаем:
\[ (2x-3)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot3+3^2 \]
\[ \boxed{4x^2-12x+9}. \]
Проверка при \(x=1\):
\[ (2-3)^2=1, \]
\[ 4-12+9=1. \]
Результат верный.
Пример 2. Разложение на множители
\[ x^2-10x+25 \]
Сравним с формулой:
\[ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2. \]
Здесь \(a=x\), \(b=5\), потому что:
\[ 2\cdot x\cdot5=10x,\qquad 5^2=25. \]
Значит,
\[ \boxed{x^2-10x+25=(x-5)^2}. \]
Как быстро определить формулу
- \((a+b)^2\) или \((a-b)^2\) — квадрат суммы или разности;
- \((a+b)(a-b)\) — разность квадратов;
- \(a^3+b^3\) — сумма кубов;
- \(a^3-b^3\) — разность кубов.
Важно:
\[ (a-b)^2\neq a^2-b^2. \]
Правильно:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
Средний член пропускать нельзя.
Обсуждение
16 сообщенийПриведи пример раскрытия скобок формулы сокращённого умножения
Например, раскроем скобки:
\[ (3x-4)^2 \]
Используем формулу разности квадратов:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
Здесь \(a=3x\), \(b=4\). Подставим:
\[ (3x-4)^2=(3x)^2-2\cdot3x\cdot4+4^2 \]
\[ \boxed{(3x-4)^2=9x^2-24x+16}. \]
Приведи ещё один
Например, раскроем скобки:
\[ (2y+3)^2 \]
Используем формулу квадрата суммы:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]
Здесь \(a=2y\), \(b=3\):
\[ (2y+3)^2=(2y)^2+2\cdot2y\cdot3+3^2 \]
\[ \boxed{(2y+3)^2=4y^2+12y+9}. \]
Приведи ещё один пример
Например:
\[ (5a+2)(5a-2) \]
Используем формулу разности квадратов:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \]
Здесь \(a=5a\), \(b=2\):
\[ (5a+2)(5a-2)=(5a)^2-2^2 \]
\[ \boxed{25a^2-4}. \]
Приведи ещё один
Например, раскроем скобки:
\[ (x+2)^3 \]
Используем формулу куба суммы:
\[ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. \]
Здесь \(a=x\), \(b=2\):
\[ (x+2)^3=x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot2^2+2^3 \]
\[ \boxed{(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8}. \]
Приведи ещё один пример
Например, раскроем скобки:
\[ (2x-1)^3 \]
Используем формулу куба разности:
\[ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3. \]
Здесь \(a=2x\), \(b=1\):
\[ (2x-1)^3=(2x)^3-3(2x)^2\cdot1+3\cdot2x\cdot1^2-1^3 \]
\[ \boxed{(2x-1)^3=8x^3-12x^2+6x-1}. \]
Помоги разобраться в теме решить систему уравнений
Решение системы уравнений
Система уравнений — это несколько уравнений с одними и теми же неизвестными. Нужно найти такие значения переменных, которые подходят сразу к каждому уравнению.
Рассмотрим систему:
\[ \begin{cases} x+y=7,\\ 2x-y=5. \end{cases} \]
Способ сложения
Сложим уравнения почленно:
\[ (x+y)+(2x-y)=7+5. \]
Слагаемые \(+y\) и \(-y\) уничтожаются:
\[ 3x=12, \]
\[ x=4. \]
Подставим найденное значение в первое уравнение:
\[ 4+y=7, \]
\[ y=3. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=4,\quad y=3}. \]
Проверка:
\[ 4+3=7,\qquad 2\cdot4-3=5. \]
Оба уравнения верны.
Основные способы
- Сложение — складываем или вычитаем уравнения, чтобы убрать одну переменную.
- Подстановка — выражаем одну переменную через другую и подставляем.
- Графический способ — строим графики, а точка их пересечения является решением.
Пришли конкретную систему уравнений — разберём её пошагово.
Откуда взялось 3X - 12
Наверное, ты имеешь в виду \(3x=12\), а не \(3x-12\).
Мы сложили уравнения:
\[ \begin{cases} x+y=7,\\ 2x-y=5. \end{cases} \]
Получаем:
\[ (x+y)+(2x-y)=7+5. \]
Теперь объединяем подобные слагаемые:
\[ x+2x+y-y=12. \]
Так как \(y-y=0\), остаётся:
\[ 3x=12. \]
Отсюда:
\[ x=\frac{12}{3}=4. \]
Да ещё один такой пример
Конечно. Решим похожую систему способом сложения:
\[ \begin{cases} x+y=9,\\ 2x-y=6. \end{cases} \]
Складываем уравнения:
\[ (x+y)+(2x-y)=9+6. \]
Слагаемые \(+y\) и \(-y\) сокращаются:
\[ x+2x+y-y=15, \]
\[ 3x=15. \]
Находим \(x\):
\[ x=\frac{15}{3}=5. \]
Подставим \(x=5\) в первое уравнение:
\[ 5+y=9, \]
\[ y=4. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=5,\quad y=4}. \]
Проверка:
\[ 5+4=9,\qquad 2\cdot5-4=6. \]
