Реши задание на изображении
Анализ неравенства и поведения функции
Я работаю с неравенством 18 - x² > 0, которое приводит к |x| < 3√2, исключая 0. Это означает, что функция возрастает на (-3√2, 0) и (0, 3√2) и убывает в остальных случаях. Мне следует проверить критические концы и стандартные интервалы: (-∞, -3√2), (-3√2, 0), (0, 3√2) и (3√2, +∞). Я использую методы производных для анализа поведения рассматриваемых функций. Наконец, мне нужно сначала кратко подвести итог, а затем чётко изложить ключевые шаги.
Анализ ориентации изображения и функций
Я пытаюсь разобраться в текущем изображении, которое, кажется, содержит вертикальный текст. Если повернуть его на 90 градусов против часовой стрелки, полагаю, что строка 2 станет горизонтальной и будет содержать формулу «y = -3√x - 4». Возникает вопрос, распространяется ли знак радикала на x−4 или только на x. Судя по контексту, это школьный листок с заданиями на монотонность функций. Я предполагаю, что они выбрали иррациональную функцию \(y=-3\sqrt{x-4}\), чтобы исследовать область определения, отмечая различия в монотонности в зависимости от промежутка.
Рассмотрение формулы на изображении
Я хочу внимательно проанализировать изображение, особенно строку с формулой во 2-м ряду. Похоже, что знак радикала начинается сразу после «-3». Поэтому мне нужно правильно это интерпретировать. Важно точно представить структуру формулы, чтобы лучше понять функцию, которую она задаёт, и связанные с ней выводы. Правильное определение этой детали поможет прояснить представленную функцию.
Проверка растрового изображения
Я хочу внимательнее рассмотреть точное растровое представление во внутреннем визуальном образе. Похоже, формула находится примерно в области с координатами x 350 и y 550 и читается как y = -3√x - 4. Я замечаю горизонтальную линию — черту подкоренного выражения, — начинающуюся в верхней части знака квадратного корня и простирающуюся до области прямо над 4. Кажется, отображаемая линия проходит от x 669 до 734, но мне нужно ещё раз это проверить!
Краткий ответ
| № | Функция | Возрастает | Убывает |
|---|---|---|---|
| 1 | \(y=3+\dfrac1x\) | нет | \((-\infty;0)\), \((0;+\infty)\) |
| 2 | \(y=-3\sqrt{x-4}\) | нет | \([4;+\infty)\) |
| 3 | \(y=\dfrac{(x-3)(6-x)}x\) | \((-3\sqrt2;0)\), \((0;3\sqrt2)\) | \((-\infty;-3\sqrt2)\), \((3\sqrt2;+\infty)\) |
| 4 | \(y=xe^{-x}\) | \((-\infty;1)\) | \((1;+\infty)\) |
| 5 | \(y=e^{x^2-2x}\) | \((1;+\infty)\) | \((-\infty;1)\) |
Решение
Используем правило:
- если \(y'>0\), функция возрастает;
- если \(y'<0\), функция убывает.
1. \(y=3+\dfrac1x\)
Область определения: \(x\ne0\).
\[ y'=-\frac1{x^2}<0. \]
Значит, функция убывает на
\[ (-\infty;0),\qquad (0;+\infty). \]
2. \(y=-3\sqrt{x-4}\)
Область определения:
\[ x\ge4. \]
При \(x>4\):
\[ y'=-\frac{3}{2\sqrt{x-4}}<0. \]
Следовательно, функция убывает на всей области определения:
\[ [4;+\infty). \]
3. \(y=\dfrac{(x-3)(6-x)}x\)
Преобразуем:
\[ y=\frac{-x^2+9x-18}{x} =-x+9-\frac{18}{x},\qquad x\ne0. \]
Тогда
\[ y'=-1+\frac{18}{x^2} =\frac{18-x^2}{x^2}. \]
Критические точки:
\[ 18-x^2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm3\sqrt2. \]
Так как \(x^2>0\), знак производной определяется числителем:
- \(y'<0\), если \(|x|>3\sqrt2\);
- \(y'>0\), если \(|x|<3\sqrt2\), но \(x\ne0\).
Отсюда получаем указанные промежутки.
4. \(y=xe^{-x}\)
\[ y'=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x). \]
Поскольку \(e^{-x}>0\), знак производной определяется выражением \(1-x\):
\[ y'>0\ при\ x<1,\qquad y'<0\ при\ x>1. \]
5. \(y=e^{x^2-2x}\)
\[ y'=e^{x^2-2x}(2x-2) =2(x-1)e^{x^2-2x}. \]
Экспонента положительна, поэтому:
\[ y'<0\ при\ x<1,\qquad y'>0\ при\ x>1. \]
Проверка: в каждом пункте знак производной меняется в найденных критических точках, поэтому промежутки определены верно.
