номер 2.4

Краткий ответ:

а) \(\boxed{x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)}\);

б) \(\boxed{x\in(-\infty;-3]\cup[0;3]}\);

в) \(\boxed{x\in(-\infty;-5]\cup[5;+\infty)}\);

г) \(\boxed{x\in(-\infty;-8)\cup(0;8)}\).

Решение

а)
\[ x^2-4>0 \] Разложим на множители: \[ (x-2)(x+2)>0. \] Произведение положительно вне корней \(-2\) и \(2\): \[ x<-2\quad\text{или}\quad x>2. \]

б)
\[ x(x^2-9)\le 0 \] \[ x(x-3)(x+3)\le0. \] Корни: \(-3,\;0,\;3\). Расставляем знаки на промежутках:

\[ \begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;-3)&(-3;0)&(0;3)&(3;+\infty)\\ \hline x(x-3)(x+3)&-&+&-&+ \end{array} \]

Так как требуется \(\le0\), берём отрицательные промежутки и корни: \[ x\in(-\infty;-3]\cup[0;3]. \]

в)
\[ x^2-25\ge0 \] \[ (x-5)(x+5)\ge0. \] Произведение неотрицательно вне корней: \[ x\le-5\quad\text{или}\quad x\ge5. \]

г)
\[ x(x^2-64)<0 \] \[ x(x-8)(x+8)<0. \] Корни: \(-8,\;0,\;8\). Знаки:

\[ \begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;-8)&(-8;0)&(0;8)&(8;+\infty)\\ \hline x(x-8)(x+8)&-&+&-&+ \end{array} \]

Берём промежутки со знаком «минус», но корни не включаем, потому что неравенство строгое: \[ x\in(-\infty;-8)\cup(0;8). \]

Проверка: в каждом ответе подставленные числа из выбранных промежутков дают нужный знак, а граничные корни включены только при \(\le\) или \(\ge\).