Реши задание на изображении
Анализ неравенства
Я работаю над этим неравенством: \([(x-4)^2 - (x-3)^2]/[(x-3)(x-4)] > 0\). Чтобы упростить его, я вижу, что разность квадратов даёт \([(x-4)-(x-3)][(x-4)+(x-3)]\), что упрощается до \((-1)(2x-7)\), или \(7-2x\). Теперь у меня есть \((7-2x)/[(x-3)(x-4)] > 0\). Критическими значениями для \(x\), по-видимому, являются \(3\), \(7/2\) и \(4\). Теперь мне нужно проверить эти точки.
Решение неравенства
Я работаю над этим неравенством: \(\frac{x-4}{x-3}-\frac{x-3}{x-4} > 0\). Я могу упростить его, чтобы найти критические точки, а именно \(3\), \(3.5\) и \(4\). Я составлю таблицу знаков для интервалов.
После проверки значений и интервалов я вижу, что \(3\) и \(4\) исключены, но \(7/2\) не включается, поскольку выражение равно нулю. Важно не умножать на знаменатель, не учитывая его знак. Я выполню несколько проверок с конкретными значениями, чтобы подтвердить результат, но не буду чрезмерно усложнять решение. Я чётко укажу окончательный ответ.
Ответ:
- в) \(x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)\);
- г) \(x\in(-\infty;3)\cup\left(\dfrac72;4\right)\).
в)
\[ \frac{x+1}{x-2}>-\frac3{x-2}-\frac12,\qquad x\ne2. \]
Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю: \[ \frac{x+1+3}{x-2}+\frac12>0, \] \[ \frac{x+4}{x-2}+\frac12>0, \] \[ \frac{2(x+4)+(x-2)}{2(x-2)}>0, \] \[ \frac{3(x+2)}{2(x-2)}>0. \]
Так как \(\frac32>0\), решаем: \[ \frac{x+2}{x-2}>0. \]
Критические точки: \(x=-2\) и \(x=2\). Дробь положительна вне промежутка между ними: \[ \boxed{x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)}. \]
г)
\[ \frac{x-4}{x-3}>\frac{x-3}{x-4},\qquad x\ne3,\;x\ne4. \]
Перенесём правую часть влево: \[ \frac{x-4}{x-3}-\frac{x-3}{x-4}>0. \]
Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{(x-4)^2-(x-3)^2}{(x-3)(x-4)}>0. \]
Разность квадратов: \[ (x-4)^2-(x-3)^2=(7-2x). \]
Получаем: \[ \frac{7-2x}{(x-3)(x-4)}>0. \]
Критические точки: \[ 3,\quad \frac72,\quad 4. \]
Знаки дроби:
\[ \begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;3)&(3;\frac72)&(\frac72;4)&(4;+\infty)\\ \hline \dfrac{7-2x}{(x-3)(x-4)}&+&-&+&- \end{array} \]
Точки \(3\) и \(4\) исключаются из ОДЗ, а \(\frac72\) не входит из-за строгого неравенства: \[ \boxed{x\in(-\infty;3)\cup\left(\frac72;4\right)}. \]
Обсуждение
2 сообщенияРеши с методом интервала
Решим методом интервалов.
в)
\[ \frac{x+1}{x-2}>-\frac{3}{x-2}-\frac12 \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ \frac{x+1}{x-2}+\frac{3}{x-2}+\frac12>0 \]
\[ \frac{3(x+2)}{2(x-2)}>0. \]
Постоянный множитель \(\frac32>0\), поэтому рассматриваем:
\[ \frac{x+2}{x-2}>0. \]
1. Критические точки
\[ x+2=0 \Rightarrow x=-2, \qquad x-2=0 \Rightarrow x=2. \]
Точка \(x=2\) не входит в ОДЗ.
2. Расставим знаки
\[ \begin{array}{c|ccc} x&(-\infty;-2)&(-2;2)&(2;+\infty)\\ \hline x+2&-&+&+\\ x-2&-&-&+\\ \hline \dfrac{x+2}{x-2}&+&-&+ \end{array} \]
Дробь больше нуля на интервалах:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)}. \]
г)
\[ \frac{x-4}{x-3}>\frac{x-3}{x-4} \]
ОДЗ:
\[ x\ne3,\qquad x\ne4. \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ \frac{x-4}{x-3}-\frac{x-3}{x-4}>0. \]
Приведём к общему знаменателю:
\[ \frac{(x-4)^2-(x-3)^2}{(x-3)(x-4)}>0. \]
Разложим числитель:
\[ (x-4)^2-(x-3)^2=7-2x=-2\left(x-\frac72\right). \]
Получаем:
\[ \frac{-2\left(x-\frac72\right)}{(x-3)(x-4)}>0. \]
1. Критические точки
\[ x=3,\qquad x=\frac72,\qquad x=4. \]
Точки \(3\) и \(4\) не входят в ОДЗ.
2. Метод интервалов
\[ \begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;3)&(3;\frac72)&(\frac72;4)&(4;+\infty)\\ \hline 7-2x&+&+&-&-\\ x-3&-&+&+&+\\ x-4&-&-&-&+\\ \hline \dfrac{7-2x}{(x-3)(x-4)}&+&-&+&- \end{array} \]
Выбираем интервалы, где выражение положительно:
\[ \boxed{x\in(-\infty;3)\cup\left(\frac72;4\right)}. \]
