382 задача

Краткий ответ:

а) \(S=80\pi\ \text{см}^2\approx 251{,}2\ \text{см}^2\).

б)
\[ R=\sqrt{4+\frac{12}{\pi}}\ \text{см}\approx 2{,}8\ \text{см}. \]

Решение

Сечение шара плоскостью — это круг. Пусть:

• \(R\) — радиус шара;
• \(d\) — расстояние от центра шара до плоскости;
• \(r\) — радиус сечения.

Если соединить центр шара \(O\) с центром сечения \(H\) и точкой \(A\) на окружности сечения, получится прямоугольный треугольник:

\[ OA=R,\qquad OH=d,\qquad AH=r. \]

По теореме Пифагора:

\[ r^2=R^2-d^2. \]

Тогда площадь сечения:

\[ S=\pi r^2=\pi(R^2-d^2). \]

а)

\[ S=\pi(12^2-8^2)=\pi(144-64)=80\pi\ \text{см}^2. \]

б)

\[ 12=\pi(R^2-2^2). \]

\[ 12=\pi(R^2-4), \]

\[ R^2=4+\frac{12}{\pi}, \]

\[ R=\sqrt{4+\frac{12}{\pi}}\ \text{см}\approx 2{,}8\ \text{см}. \]

Проверка: \(R>d\), так как \(2{,}8>2\), значит сечение существует.