сделай номер 4,5,6,9

Краткие ответы

4.
а) Нет.
б) Нет.

5. Через три точки, лежащие на одной прямой, проходит плоскость; таких плоскостей — бесконечно много.

6. Все три отрезка лежат в одной плоскости.

9. Да, две другие вершины тоже лежат в плоскости \(\alpha\).

Решение

№ 4

а) Пусть три точки, например \(A\), \(B\), \(C\), лежат на одной прямой. Четвёртая точка \(D\) вместе с этой прямой определяет плоскость. Значит, все четыре точки лежат в одной плоскости, что противоречит условию.

Следовательно, никакие три точки не могут лежать на одной прямой.

б) Если бы прямые \(AB\) и \(CD\) пересекались, то две пересекающиеся прямые определяли бы плоскость. Точки \(A,B\) лежат на первой прямой, а \(C,D\) — на второй, значит, все четыре точки были бы в одной плоскости.

Это противоречит условию. Поэтому прямые \(AB\) и \(CD\) не пересекаются.

№ 5

Три точки лежат на одной прямой \(l\). Возьмём любую точку \(P\), не лежащую на прямой \(l\). По аксиоме через прямую \(l\) и точку \(P\), не лежащую на ней, проходит единственная плоскость.

Значит, эта плоскость проходит через все три данные точки.

Точку \(P\) можно выбирать по-разному, поэтому через прямую \(l\) проходит бесконечно много плоскостей.

Ответ: бесконечно много.

№ 6

Пусть данные точки — \(A\), \(B\), \(C\). Соединяющие их отрезки: \(AB\), \(BC\), \(AC\).

• Если точки не лежат на одной прямой, через них проходит единственная плоскость.
• Если точки лежат на одной прямой, то через эту прямую можно провести плоскость.

В любом случае существует плоскость, содержащая точки \(A\), \(B\), \(C\).

Если плоскость содержит две точки прямой, то она содержит всю эту прямую. Поэтому она содержит прямые \(AB\), \(BC\), \(AC\), а значит, и соответствующие отрезки.

Следовательно, все три отрезка лежат в одной плоскости.

№ 9

Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма через \(O\). Пусть в плоскости \(\alpha\) лежат соседние вершины \(A\) и \(B\), а также точка \(O\).

Точка \(O\) лежит на диагонали \(AC\). Так как точки \(A\) и \(O\) лежат в плоскости \(\alpha\), то вся прямая \(AO\), то есть диагональ \(AC\), лежит в этой плоскости. Значит, вершина \(C\) лежит в \(\alpha\).

Аналогично, \(O\) лежит на диагонали \(BD\). Точки \(B\) и \(O\) лежат в \(\alpha\), поэтому вся диагональ \(BD\) лежит в \(\alpha\), и вершина \(D\) также лежит в \(\alpha\).

Ответ: да, обе другие вершины параллелограмма лежат в плоскости \(\alpha\).

Проверка: обе вершины получены как точки диагоналей, каждая из которых целиком лежит в плоскости \(\alpha\).