Реши задание на изображении

Краткий ответ: истинными являются утверждения 2, 4 и 7.

Обозначим \[ A=\frac{5\sqrt3}{\sqrt3-\sqrt2}. \]

Рационализуем знаменатель: \[ A=\frac{5\sqrt3(\sqrt3+\sqrt2)}{3-2} =5\sqrt3(\sqrt3+\sqrt2)=15+5\sqrt6. \]

1. Разность: \[ A-(2-5\sqrt6)=15+5\sqrt6-2+5\sqrt6 =13+10\sqrt6. \] Число иррациональное. Утверждение ложно.

2. Сумма: \[ A+(2-5\sqrt6)=15+5\sqrt6+2-5\sqrt6=17. \] Число рациональное. Утверждение истинно.

3. Частное: \[ \frac{3\sqrt2-3}{\sqrt2-1} =\frac{3(\sqrt2-1)}{\sqrt2-1}=3. \] Число рациональное, поэтому утверждение ложно.

4. Сумма: \[ (6+\sqrt3)+(6-\sqrt3)=12. \] Число рациональное. Утверждение истинно.

5. Произведение: \[ (2-5\sqrt7)(2+5\sqrt7)=4-25\cdot7=-171. \] Число рациональное, поэтому утверждение ложно.

6. Разность: \[ (6\sqrt2-3)^2=72-36\sqrt2+9=81-36\sqrt2, \] \[ (81-36\sqrt2)-36\sqrt2=81-72\sqrt2. \] Число иррациональное. Утверждение ложно.

7. Произведение: \[ \sqrt{12-\sqrt5}\cdot\sqrt{12+\sqrt5} =\sqrt{(12-\sqrt5)(12+\sqrt5)} =\sqrt{144-5}=\sqrt{139}. \] Число \(\sqrt{139}\) иррациональное. Утверждение истинно.

Ответ: отметить пункты 2, 4, 7.