12 задание

Решение задания 12

Основное правило: знаменатель дроби не может быть равен нулю.

а) \(\dfrac{5y-8}{11}\)

Знаменатель \(11\neq0\), поэтому:

\[ y\in\mathbb R. \]

б) \(\dfrac{25}{y-9}\)

\[ y-9\neq0 \quad\Rightarrow\quad y\neq9. \]

в) \(\dfrac{y^2+1}{y^2-2y}\)

Разложим знаменатель:

\[ y^2-2y=y(y-2). \]

\[ y(y-2)\neq0 \quad\Rightarrow\quad y\neq0,\quad y\neq2. \]

г) \(\dfrac{y-10}{y^2+3}\)

Так как

\[ y^2+3>0 \]

при любом действительном \(y\), то:

\[ y\in\mathbb R. \]

д) \(\dfrac{y}{y-6}+\dfrac{15}{y+6}\)

\[ y-6\neq0,\qquad y+6\neq0. \]

Следовательно:

\[ y\neq6,\qquad y\neq-6. \]

е) \(\dfrac{32}{y}-\dfrac{y+1}{y+7}\)

\[ y\neq0,\qquad y+7\neq0. \]

\[ y\neq0,\qquad y\neq-7. \]

Ответ:

\[ \boxed{\text{а) } y\in\mathbb R;\quad \text{б) } y\neq9;\quad \text{в) } y\neq0,2;} \]

\[ \boxed{\text{г) } y\in\mathbb R;\quad \text{д) } y\neq6,-6;\quad \text{е) } y\neq0,-7.} \]

Решение всех примеров задания 12

Правило: знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

а) \(\displaystyle \frac{5y-8}{11}\)

Знаменатель — число \(11\):

\[ 11\neq0. \]

Ограничений на \(y\) нет.

\[ \boxed{y\in\mathbb R} \]

---

б) \(\displaystyle \frac{25}{y-9}\)

Приравняем знаменатель к нулю и найдём запрещённое значение:

\[ y-9=0, \]

\[ y=9. \]

Значит, \(y=9\) брать нельзя:

\[ \boxed{y\neq9} \]

---

в) \(\displaystyle \frac{y^2+1}{y^2-2y}\)

Знаменатель должен быть не равен нулю:

\[ y^2-2y\neq0. \]

Вынесем \(y\) за скобки:

\[ y(y-2)\neq0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ y=0 \quad\text{или}\quad y-2=0, \]

\[ y=0 \quad\text{или}\quad y=2. \]

Эти значения запрещены:

\[ \boxed{y\neq0,\quad y\neq2} \]

---

г) \(\displaystyle \frac{y-10}{y^2+3}\)

Рассмотрим знаменатель:

\[ y^2+3. \]

Для любого действительного \(y\):

\[ y^2\geq0, \]

поэтому

\[ y^2+3\geq3>0. \]

Знаменатель никогда не равен нулю. Ограничений нет:

\[ \boxed{y\in\mathbb R} \]

---

д) \(\displaystyle \frac{y}{y-6}+\frac{15}{y+6}\)

Здесь два знаменателя, поэтому каждый из них должен быть не равен нулю:

\[ y-6\neq0,\qquad y+6\neq0. \]

Решим оба неравенства:

\[ y-6=0 \Rightarrow y=6, \]

\[ y+6=0 \Rightarrow y=-6. \]

Значения \(6\) и \(-6\) запрещены:

\[ \boxed{y\neq6,\quad y\neq-6} \]

---

е) \(\displaystyle \frac{32}{y}-\frac{y+1}{y+7}\)

Знаменатели должны быть не равны нулю:

\[ y\neq0, \]

\[ y+7\neq0. \]

Решим второе условие:

\[ y+7=0 \Rightarrow y=-7. \]

Следовательно:

\[ \boxed{y\neq0,\quad y\neq-7} \]

Ответ

\[ \boxed{ \begin{aligned} \text{а)}&\ y\in\mathbb R;\\ \text{б)}&\ y\neq9;\\ \text{в)}&\ y\neq0,\ y\neq2;\\ \text{г)}&\ y\in\mathbb R;\\ \text{д)}&\ y\neq6,\ y\neq-6;\\ \text{е)}&\ y\neq0,\ y\neq-7. \end{aligned}} \]

Задание 16

Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

а) \(\displaystyle \frac{m+4}{6}=0\)

Приравняем числитель к нулю:

\[ m+4=0, \]

\[ \boxed{m=-4}. \]

---

б) \(\displaystyle \frac{7-5n}{11}=0\)

\[ 7-5n=0, \]

\[ 5n=7, \]

\[ \boxed{n=\frac75}. \]

---

в) \(\displaystyle \frac{b^2-b}{b+2}=0\)

Числитель разложим на множители:

\[ b^2-b=b(b-1). \]

Тогда:

\[ b(b-1)=0. \]

Отсюда:

\[ b=0 \quad\text{или}\quad b=1. \]

Проверим знаменатель:

\[ b+2\neq0 \quad\Rightarrow\quad b\neq-2. \]

Оба найденных значения подходят:

\[ \boxed{b=0;\ b=1}. \]

---

г) \(\displaystyle \frac{y^2-25}{3y-15}=0\)

Разложим числитель на множители:

\[ y^2-25=(y-5)(y+5). \]

Приравняем числитель к нулю:

\[ (y-5)(y+5)=0. \]

\[ y=5 \quad\text{или}\quad y=-5. \]

Но знаменатель не должен быть равен нулю:

\[ 3y-15\neq0, \]

\[ 3y\neq15, \]

\[ y\neq5. \]

Значение \(y=5\) исключаем. Остаётся:

\[ \boxed{y=-5}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\text{а) }m=-4;\quad \text{б) }n=\frac75;\quad \text{в) }b=0,\ 1;\quad \text{г) }y=-5.} \]

Задание 22. Преобразуйте в многочлен

Используем формулы:

\[ (u+v)(u-v)=u^2-v^2, \]

\[ (u+v)^2=u^2+2uv+v^2, \]

\[ (u-v)^2=u^2-2uv+v^2. \]

а)

\[ (2a+3)(2a-3)=(2a)^2-3^2=4a^2-9. \]

б)

\[ (y-5b)(y+5b)=y^2-(5b)^2=y^2-25b^2. \]

в)

\[ (0{,}8x+y)(y-0{,}8x) =y^2-(0{,}8x)^2 =y^2-0{,}64x^2. \]

г)

\[ (b+0{,}5)^2=b^2+2\cdot b\cdot0{,}5+0{,}5^2 =b^2+b+0{,}25. \]

д)

\[ (a-2c)^2=a^2-2\cdot a\cdot2c+(2c)^2 =a^2-4ac+4c^2. \]

е)

\[ (ab-1)^2=(ab)^2-2\cdot ab\cdot1+1^2 =a^2b^2-2ab+1. \]

Ответ:

\[ \boxed{ \begin{aligned} \text{а)}&\ 4a^2-9;\\ \text{б)}&\ y^2-25b^2;\\ \text{в)}&\ y^2-0{,}64x^2;\\ \text{г)}&\ b^2+b+0{,}25;\\ \text{д)}&\ a^2-4ac+4c^2;\\ \text{е)}&\ a^2b^2-2ab+1. \end{aligned}} \]