Реши подробно
Краткие ответы
- а) \(16-a^2\); б) \(x^8\), \(x\ne0\).
- а) \(7x(y^2-2x)\); б) \(x(5-x)(5+x)\).
- а) \(x=\dfrac72\); б) \(x=-\dfrac9{10}\).
- График проходит через точки \((0;3)\) и \((1;0)\). Точка \(A(9;-24)\) принадлежит графику.
- Прямоугольный равнобедренный треугольник.
- Больший угол равен \(100^\circ\).
Подробное решение
1. Упростить
а)
\[ (a-4)^2-a(2a-8) \]
Раскроем скобки:
\[ (a-4)^2=a^2-8a+16, \]
\[ a(2a-8)=2a^2-8a. \]
Тогда:
\[ \begin{aligned} (a-4)^2-a(2a-8) &=a^2-8a+16-(2a^2-8a)\\ &=a^2-8a+16-2a^2+8a\\ &=16-a^2. \end{aligned} \]
Ответ:
\[ \boxed{16-a^2} \]
б)
\[ \frac{x^6\cdot x^4}{x^2} \]
При умножении степеней показатели складываются, а при делении — вычитаются:
\[ \frac{x^6\cdot x^4}{x^2}=x^{6+4-2}=x^8. \]
Так как \(x^2\) находится в знаменателе, \(x\ne0\).
Ответ:
\[ \boxed{x^8},\qquad x\ne0. \]
2. Разложить на множители
а)
\[ 7xy^2-14x^2 \]
Общий множитель двух слагаемых — \(7x\):
\[ 7xy^2-14x^2=7x(y^2-2x). \]
Ответ:
\[ \boxed{7x(y^2-2x)} \]
б)
\[ 25x-x^3 \]
Сначала вынесем \(x\):
\[ 25x-x^3=x(25-x^2). \]
Применим формулу разности квадратов:
\[ 25-x^2=5^2-x^2=(5-x)(5+x). \]
Следовательно,
\[ 25x-x^3=x(5-x)(5+x). \]
Ответ:
\[ \boxed{x(5-x)(5+x)} \]
3. Решить уравнение
а)
\[ 6x-(2x+5)=2(3x-6) \]
Раскроем скобки:
\[ 6x-2x-5=6x-12. \]
Приведём подобные слагаемые:
\[ 4x-5=6x-12. \]
Перенесём слагаемые:
\[ 12-5=6x-4x, \]
\[ 7=2x, \]
\[ x=\frac72. \]
Проверка:
\[ 6\cdot\frac72-\left(2\cdot\frac72+5\right)=21-12=9, \]
\[ 2\left(3\cdot\frac72-6\right)=2\left(\frac{21}{2}-6\right)=9. \]
Равенство верно.
Ответ:
\[ \boxed{x=\frac72} \]
б)
\[ x(x-4)=(x+3)^2 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2-4x=x^2+6x+9. \]
Сократим \(x^2\) в обеих частях:
\[ -4x=6x+9. \]
Перенесём \(6x\) в левую часть:
\[ -10x=9. \]
Отсюда:
\[ x=-\frac9{10}. \]
Проверка:
\[ \left(-\frac9{10}\right)\left(-\frac9{10}-4\right) =\frac{441}{100}, \]
\[ \left(-\frac9{10}+3\right)^2 =\left(\frac{21}{10}\right)^2 =\frac{441}{100}. \]
Равенство верно.
Ответ:
\[ \boxed{x=-\frac9{10}} \]
4. Построить график функции
Дана функция:
\[ y=3-3x. \]
Для построения найдём координаты двух точек:
- если \(x=0\), то \(y=3\), получаем точку \((0;3)\);
- если \(x=1\), то \(y=0\), получаем точку \((1;0)\).
Отметим точки \((0;3)\) и \((1;0)\) на координатной плоскости и проведём через них прямую.
Проверим точку \(A(9;-24)\):
\[ y=3-3\cdot9=3-27=-24. \]
Получили координату \(y=-24\), которая совпадает с координатой точки \(A\).
Ответ: точка \(\boxed{A(9;-24)}\) принадлежит графику функции.
5. Углы треугольника относятся как \(1:1:2\)
Пусть части отношения равны \(k\). Тогда углы имеют величины:
\[ k,\quad k,\quad 2k. \]
Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\):
\[ k+k+2k=180^\circ, \]
\[ 4k=180^\circ, \]
\[ k=45^\circ. \]
Значит, углы треугольника:
\[ 45^\circ,\quad45^\circ,\quad90^\circ. \]
Два угла равны, поэтому треугольник равнобедренный. Один угол прямой, поэтому он прямоугольный.
Ответ: \(\boxed{\text{прямоугольный равнобедренный треугольник}}\).
6. Смежные углы
Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\). Пусть меньший угол равен \(x^\circ\), тогда больший — \((x+20)^\circ\).
Составим уравнение:
\[ x+(x+20)=180. \]
\[ 2x+20=180, \]
\[ 2x=160, \]
\[ x=80^\circ. \]
Это меньший угол. Больший угол:
\[ 80^\circ+20^\circ=100^\circ. \]
Проверка:
\[ 80^\circ+100^\circ=180^\circ. \]
Ответ:
\[ \boxed{100^\circ} \]
