Решите уравнение \(\cos 2x - \sqrt{2}\cos x + 1 = 0\) и найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]\).

Ответ: \[ \boxed{x\in\left\{\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4},\frac{9\pi}{4},\frac{5\pi}{2}\right\}} \]

Используем формулу: \[ \cos 2x=2\cos^2x-1. \]

Тогда: \[ 2\cos^2x-1-\sqrt2\cos x+1=0, \] \[ 2\cos^2x-\sqrt2\cos x=0, \] \[ \cos x(2\cos x-\sqrt2)=0. \]

Получаем два случая:

1. \(\cos x=0\): \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k. \] На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\): \[ x=\frac{3\pi}{2},\quad \frac{5\pi}{2}. \]

2. \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\): \[ x=2\pi k\pm\frac{\pi}{4}. \] На заданном отрезке: \[ x=\frac{7\pi}{4},\quad \frac{9\pi}{4}. \]

Все найденные значения принадлежат отрезку и обращают исходное уравнение в верное равенство.