Задание 1333 под номером 2
Краткий ответ: \[ x=\pm\sqrt2,\qquad x=\pm\frac{\sqrt2}{2}. \]
Решение.
Уравнение \[ 2x^4-5x^2+2=0 \] является биквадратным: в нём встречаются \(x^4\) и \(x^2\). Сделаем замену: \[ t=x^2. \] Тогда \(x^4=t^2\), и получаем квадратное уравнение: \[ 2t^2-5t+2=0. \]
Находим дискриминант: \[ D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9. \]
\[ t_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt9}{4} =\frac{5\pm3}{4}. \]
Отсюда: \[ t_1=2,\qquad t_2=\frac12. \]
Возвращаемся к \(x\): \[ x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt2; \] \[ x^2=\frac12 \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac12} =\pm\frac{\sqrt2}{2}. \]
Проверка:
\[
2x^4-5x^2+2=(2x^2-1)(x^2-2),
\]
поэтому найденные значения действительно обращают уравнение в ноль.
Обсуждение
2 сообщенияСделай через теорему Виета
Решим уравнение \[ 2x^4-5x^2+2=0 \] по теореме Виета.
Сделаем замену: \[ t=x^2. \] Тогда получаем: \[ 2t^2-5t+2=0. \]
По теореме Виета: \[ t_1+t_2=\frac{5}{2},\qquad t_1t_2=\frac{2}{2}=1. \]
Подходящие числа: \[ t_1=2,\qquad t_2=\frac12, \] так как \[ 2+\frac12=\frac52,\qquad 2\cdot\frac12=1. \]
Возвращаемся к \(x\):
\[ x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt2; \]
\[ x^2=\frac12 \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac12} =\pm\frac{\sqrt2}{2}. \]
Ответ: \[ \boxed{x=\pm\sqrt2,\ \pm\frac{\sqrt2}{2}}. \]
