Реши задание на изображении

Краткий ответ:
\[ \boxed{2\sqrt{14}} \]

Решение

Пусть \(AB=h\). Введём координаты:

\[ B(0,0),\quad C(7,0),\quad A(0,h),\quad D(8,h). \]

Это верно, так как \(AB\perp BC\), а \(AD\parallel BC\).

Точка касания \(E\) лежит на прямой \(AB\), поэтому обозначим:

\[ E(0,e). \]

Центр окружности имеет координаты \(O(u,e)\), так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен \(AB\).

Уравнение окружности:

\[ (x-u)^2+(y-e)^2=u^2. \]

Так как окружность проходит через \(C(7,0)\):

\[ (7-u)^2+e^2=u^2, \]

\[ 49-14u+e^2=0. \tag{1} \]

Так как окружность проходит через \(D(8,h)\):

\[ (8-u)^2+(h-e)^2=u^2, \]

\[ 64+h^2-16u-2he+e^2=0. \tag{2} \]

Вычтем (1) из (2) и исключим \(u\). Получим:

\[ e^2+14he-7h^2-56=0. \]

Тогда

\[ (e+7h)^2=56(h^2+1). \tag{3} \]

Уравнение прямой \(CD\):

\[ hx-y-7h=0. \]

Расстояние от \(E(0,e)\) до прямой \(CD\):

\[ d=\frac{|h\cdot0-e-7h|}{\sqrt{h^2+1}} =\frac{|e+7h|}{\sqrt{h^2+1}}. \]

Используя (3), получаем:

\[ d=\frac{\sqrt{56(h^2+1)}}{\sqrt{h^2+1}} =\sqrt{56}=2\sqrt{14}. \]

Проверка: неизвестная высота \(h\) сократилась, значит ответ действительно зависит только от \(AD=8\) и \(BC=7\).