Реши и объясни
Краткий ответ
Один из вариантов равносильного уравнения (2):
| № | Уравнение (2) | Ответ |
|---|---|---|
| 1 | \(x-\dfrac83=0\) | \(x=\dfrac83\) |
| 2 | \(x-3=0\) | \(x=3\) |
| 3 | \(x=0\) | \(x=0\) |
| 4 | \((x-1)(x+1)=0\) | \(x=-1,\;1\) |
| 5 | \(x=8-x\) | \(x=4\) |
| 6 | \(x+3=0,\quad x\ne3\) | \(x=-3\) |
| 7 | \(x+3=0\) | \(x=-3\) |
| 8 | \(\sqrt{5-x}+1=0\) | решений нет |
| 9 | \(x^2-9=0\) | \(x=-3,\;3\) |
Объяснение
1)
\[
3x-7=1
\]
Прибавим \(7\):
\[
3x=8.
\]
Разделим на \(3\):
\[
x=\frac83.
\]
Значит, можно записать:
\[
x-\frac83=0.
\]
2)
\[
2x-6=x-3.
\]
Перенесём всё в левую часть:
\[
2x-6-x+3=0,
\]
\[
x-3=0.
\]
Отсюда:
\[
x=3.
\]
3)
\[
-3x=0.
\]
Делим обе части на \(-3\):
\[
x=0.
\]
4)
\[
x^2-1=0.
\]
Это разность квадратов:
\[
x^2-1=(x-1)(x+1).
\]
Поэтому:
\[
(x-1)(x+1)=0.
\]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[
x=1 \quad \text{или} \quad x=-1.
\]
5)
\[
3^x=3^{8-x}.
\]
Основание \(3\) положительное и не равно \(1\), поэтому показатели равны:
\[
x=8-x.
\]
Тогда:
\[
2x=8,\qquad x=4.
\]
Проверка:
\[
3^4=3^{8-4}=3^4.
\]
6)
\[
\frac{x^2-9}{x-3}=0.
\]
Сначала учитываем ОДЗ:
\[
x-3\ne0,\qquad x\ne3.
\]
Разложим числитель:
\[
x^2-9=(x-3)(x+3).
\]
Тогда при \(x\ne3\):
\[
\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x+3=0.
\]
Получаем:
\[
x=-3.
\]
Число \(-3\) допустимо, так как знаменатель равен \(-6\), а не нулю.
7)
\[
\sqrt{x+3}=0.
\]
Квадратный корень равен нулю только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю:
\[
x+3=0,
\]
\[
x=-3.
\]
8)
\[
\sqrt{5-x}=-1.
\]
Квадратный корень не может быть отрицательным:
\[
\sqrt{5-x}\ge0.
\]
Поэтому равенство \(\sqrt{5-x}=-1\) невозможно.
Ответ:
\[
\varnothing.
\]
9)
\[
|x|=3.
\]
Возведём обе части в квадрат:
\[
x^2=9,
\]
или
\[
x^2-9=0.
\]
Разложим:
\[
(x-3)(x+3)=0.
\]
Следовательно:
\[
x=3 \quad \text{или} \quad x=-3.
\]
Уравнения равносильны, если имеют одно и то же множество корней. При преобразованиях важно сохранять ОДЗ, особенно в задании 6.
