Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(\boxed{S=\dfrac{\sqrt2}{2}}\)

2. \(\boxed{S=6+4\sqrt3}\)

Для геометрической прогрессии:

\[ b_n=b_1q^{n-1}, \qquad S=\frac{b_1}{1-q}, \quad |q|<1. \]

1) \(q=\frac12,\quad b_3=\frac{\sqrt2}{16}\)

Сначала найдём первый член:

\[ b_3=b_1q^2, \]

\[ b_1=\frac{b_3}{q^2} =\frac{\frac{\sqrt2}{16}}{\left(\frac12\right)^2} =\frac{\sqrt2}{4}. \]

Теперь сумма:

\[ S=\frac{b_1}{1-q} =\frac{\frac{\sqrt2}{4}}{1-\frac12} =\frac{\frac{\sqrt2}{4}}{\frac12} =\boxed{\frac{\sqrt2}{2}}. \]

Проверка:

\[ \frac{\sqrt2}{4}\cdot\left(\frac12\right)^2 =\frac{\sqrt2}{16}=b_3. \]

2) \(q=\frac{\sqrt3}{2},\quad b_4=\frac98\)

\[ b_4=b_1q^3, \]

\[ q^3=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^3 =\frac{3\sqrt3}{8}. \]

Тогда

\[ b_1=\frac{b_4}{q^3} =\frac{\frac98}{\frac{3\sqrt3}{8}} =\frac{3}{\sqrt3} =\sqrt3. \]

Находим сумму:

\[ S=\frac{\sqrt3}{1-\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{2\sqrt3}{2-\sqrt3}. \]

Рационализируем знаменатель:

\[ S=\frac{2\sqrt3(2+\sqrt3)}{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)} =2\sqrt3(2+\sqrt3) =\boxed{6+4\sqrt3}. \]

Проверка:

\[ \sqrt3\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^3 =\sqrt3\cdot\frac{3\sqrt3}{8} =\frac98=b_4. \]

Почему в формуле для b_n стоит степень n−1?