Реши задание на изображении

Краткий ответ

I. Уравнения касательных:

1. \(\boxed{y=12x-9}\)
2. \(\boxed{y=5x+6}\)

II. \(\boxed{\tg\alpha=15}\)

III. Корни уравнений:

1. \(\boxed{x=2}\)
2. \(\boxed{x=-9}\)
3. \(\boxed{x=-15}\)

---

I. Уравнение касательной

Используем формулу:

\[ y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0), \]

где \(f'(x_0)\) — угловой коэффициент касательной.

1) \(f(x)=2x^2+4x-1,\quad x_0=2\)

Находим производную:

\[ f'(x)=4x+4. \]

Угловой коэффициент:

\[ f'(2)=4\cdot2+4=12. \]

Значение функции в точке:

\[ f(2)=2\cdot2^2+4\cdot2-1=8+8-1=15. \]

Подставляем в формулу:

\[ y-15=12(x-2), \]

\[ y-15=12x-24, \]

\[ \boxed{y=12x-9}. \]

2) \(f(x)=x^3+2x+4,\quad x_0=-1\)

\[ f'(x)=3x^2+2. \]

\[ f'(-1)=3\cdot(-1)^2+2=5. \]

\[ f(-1)=(-1)^3+2(-1)+4=-1-2+4=1. \]

Тогда:

\[ y-1=5(x+1), \]

\[ y-1=5x+5, \]

\[ \boxed{y=5x+6}. \]

---

II. Тангенс угла наклона касательной

Дана функция:

\[ y=(3x-8)^5,\qquad x_0=3. \]

Тангенс угла наклона касательной равен производной в данной точке:

\[ \tg\alpha=y'(3). \]

По правилу сложной функции:

\[ y'=5(3x-8)^4\cdot3=15(3x-8)^4. \]

\[ y'(3)=15(3\cdot3-8)^4=15\cdot1^4=15. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\tg\alpha=15}. \]

---

III. Решение уравнений

1) \(\sqrt{-9+9x}-3=0\)

\[ \sqrt{9x-9}=3. \]

Возводим обе части в квадрат:

\[ 9x-9=9, \]

\[ 9x=18, \]

\[ \boxed{x=2}. \]

Проверка:

\[ \sqrt{9\cdot2-9}-3=\sqrt9-3=0. \]

---

2) \(\sqrt{7-2x}=5\)

Возводим в квадрат:

\[ 7-2x=25, \]

\[ -2x=18, \]

\[ \boxed{x=-9}. \]

Проверка:

\[ \sqrt{7-2(-9)}=\sqrt{25}=5. \]

---

3) \(\sqrt{79+5x}-2=0\)

\[ \sqrt{79+5x}=2. \]

Возводим в квадрат:

\[ 79+5x=4, \]

\[ 5x=-75, \]

\[ \boxed{x=-15}. \]

Проверка:

\[ \sqrt{79+5(-15)}-2=\sqrt4-2=0. \]

Все найденные значения подходят.