Реши задание на изображении

Краткий ответ:
Для матрицы
\[ A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \] верно: \[ A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0, \] где \(E\) — единичная матрица. Значит, матрица \(A\) удовлетворяет уравнению \[ x^2-(a+d)x+ad-bc=0. \]

Доказательство.

Сначала найдём квадрат матрицы: \[ A^2= \begin{pmatrix} a^2+bc&ab+bd\\ ac+cd&bc+d^2 \end{pmatrix}. \]

Вычислим остальные слагаемые: \[ -(a+d)A= \begin{pmatrix} -a(a+d)&-b(a+d)\\ -c(a+d)&-d(a+d) \end{pmatrix}, \] \[ (ad-bc)E= \begin{pmatrix} ad-bc&0\\ 0&ad-bc \end{pmatrix}. \]

Складываем: \[ A^2-(a+d)A+(ad-bc)E \] \[ = \begin{pmatrix} a^2+bc-a(a+d)+ad-bc& ab+bd-b(a+d)\\ ac+cd-c(a+d)& bc+d^2-d(a+d)+ad-bc \end{pmatrix}. \]

Проверим элементы:

\[ a^2+bc-a^2-ad+ad-bc=0, \] \[ ab+bd-ab-bd=0, \] \[ ac+cd-ac-cd=0, \] \[ bc+d^2-ad-d^2+ad-bc=0. \]

Следовательно, \[ A^2-(a+d)A+(ad-bc)E= \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}. \]

Что и требовалось доказать. Здесь \(a+d=\operatorname{tr}A\), а \(ad-bc=\det A\).