Помоги решить все

Краткие ответы

2.11. Один из возможных вариантов:

1. \(a^3=a\cdot a^2\);
2. \((-6)^4=(-6)^2\cdot(-6)^2\);
3. \(\left(\frac5{18}\right)^5=\left(\frac5{18}\right)^2\cdot\left(\frac5{18}\right)^3\);
4. \((x+y)^4=(x+y)^2\cdot(x+y)^2\).

2.12.

1. \(a^k\cdot a^n=a^{k+n}\);
2. \(b^m\cdot b^{3n}=b^{m+3n}\);
3. \((cd)^{2t+5}=(cd)^{2t}\cdot(cd)^5\);
4. \((5z)^6\cdot(5z)^{3k}=(5z)^{6+3k}\).

Ответы вместо звёздочек:
\[ 1)\ n;\qquad 2)\ m;\qquad 3)\ 2t+5;\qquad 4)\ 3k. \]

2.13.

1. \(c^k\cdot c^{k+1}=c^{2k+1}\);
2. \(d^{5k}\cdot d^{3k+2}=d^{8k+2}\);
3. \(z^{2k}\cdot z^{8k+10}=z^{10k+10}\);
4. \(m^{3k+13}\cdot m^{13k}=m^{16k+13}\).

Ответы вместо звёздочек:
\[ 1)\ k+1;\qquad 2)\ 3k+2;\qquad 3)\ 8k+10;\qquad 4)\ 3k+13. \]

2.14. Обе тождества верны.

2.15. \[ 1)\ \frac{3^5}{3^4}=3; \qquad 2)\ \frac{4^4}{4^5}=\frac14; \] \[ 3)\ \frac{(2{,}3)^4}{(2{,}3)^3}=2{,}3; \qquad 4)\ \frac{(-0{,}8)^3}{(-0{,}8)^2}=-0{,}8. \]

2.16. Истинные равенства: \[ 2)\ \frac{7^8}{7^4}=7^4; \qquad 3)\ \frac{(0{,}25)^{12}}{(0{,}25)^4}=(0{,}25)^8. \]

Основное правило

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]

При делении показатели вычитаются:

\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad a\ne0. \]

Поэтому в заданиях 2.12–2.13 неизвестный показатель находится вычитанием.

Проверка задания 2.14

1. Складываем показатели:

\[ \begin{aligned} &x^{k+4n-9}\cdot x^{7-3k}\cdot x^{6+2k-4n}\\ &=x^{(k+4n-9)+(7-3k)+(6+2k-4n)}\\ &=x^4. \end{aligned} \]

Действительно:

\[ k-3k+2k=0,\qquad 4n-4n=0,\qquad -9+7+6=4. \]

2. Аналогично:

\[ \begin{aligned} &x^{5m+11}\cdot x^{20-4m+2n}\cdot x^{m-2n-30}\\ &=x^{(5m+11)+(20-4m+2n)+(m-2n-30)}\\ &=x^{2m+1}. \end{aligned} \]

Проверка задания 2.16

В первом равенстве:

\[ \frac{2^9}{2^3}=2^{9-3}=2^6\ne2^3, \]

поэтому оно неверное. Второе и третье равенства верны.