Реши задание на изображении

Краткий ответ

1) Периодическую дробь в обыкновенную

а) \(0,4(3)=\dfrac{13}{30}\);

б) \(3,1(7)=\dfrac{143}{45}\);

в) \(0,48(3)=\dfrac{29}{60}\);

г) \(7,10(6)=\dfrac{533}{75}\).

2) В периодическую десятичную дробь

а) \(\dfrac13=0,(3)\);

б) \(\dfrac79=0,(7)\);

в) \(\dfrac3{15}=0,2(0)\);

г) \(-\dfrac4{22}=-0,(18)\);

д) \(-\dfrac3{11}=-0,(27)\);

е) \(\dfrac{13}{36}=0,36(1)\).

3) В смешанно-периодическую дробь с периодом \(0\)

а) \(1,28=1,28(0)\);

б) \(3,94=3,94(0)\);

в) \(3,584=3,584(0)\).

4) Периодическую дробь в обыкновенную

а) \(0,(4)=\dfrac49\);

б) \(4,(1)=\dfrac{37}{9}\);

в) \(2,(189)=\dfrac{81}{37}\);

г) \(1,(124)=\dfrac{1123}{999}\).

---

Ключевые шаги

1. Смешанные периодические дроби

Если до периода \(n\) цифр, а в периоде \(m\) цифр, то:

\[ x=\frac{\text{число без запятой до конца первого периода} -\text{число без запятой до периода}} {10^n(10^m-1)}. \]

Например:

\[ x=0,4(3). \]

Здесь до периода одна цифра, в периоде одна цифра:

\[ x=\frac{43-4}{10(10-1)} =\frac{39}{90} =\frac{13}{30}. \]

Аналогично:

\[ 0,48(3)=\frac{483-48}{100\cdot9} =\frac{435}{900} =\frac{29}{60}; \]

\[ 7,10(6)=\frac{7106-710}{100\cdot9} =\frac{6396}{900} =\frac{533}{75}. \]

Проверка:

\[ \frac{13}{30}=0,4333\ldots=0,4(3), \qquad \frac{29}{60}=0,48333\ldots=0,48(3). \]

2. Обыкновенные дроби

Сначала сокращаем дробь и выполняем деление:

\[ \frac3{15}=\frac15=0,2=0,2(0); \]

\[ -\frac4{22}=-\frac2{11}=-0,(18); \]

\[ \frac{13}{36}=0,36111\ldots=0,36(1). \]

4. Чистые периодические дроби

Для периода из \(m\) цифр:

\[ 0,(a)=\frac{a}{10^m-1}. \]

Например:

\[ 0,(4)=\frac4{9}. \]

Для смешанных дробей обозначим всё число через \(x\).

\[ x=2,(189). \]

Умножаем на \(1000\), так как период состоит из трёх цифр:

\[ 1000x=2189,(189). \]

Вычитаем исходное равенство:

\[ 1000x-x=2189,(189)-2,(189), \]

\[ 999x=2187, \qquad x=\frac{2187}{999}=\frac{81}{37}. \]

Также:

\[ x=1,(124), \]

\[ 1000x=1124,(124), \]

\[ 999x=1123, \qquad x=\frac{1123}{999}. \]