Реши задание на изображении
Решение неравенства
\[ -x^2+2x-1\ge 0 \]
Умножим обе части на \(-1\), изменив знак неравенства:
\[ x^2-2x+1\le 0 \]
Разложим левую часть:
\[ (x-1)^2\le 0 \]
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому он может быть меньше или равен нулю только в случае равенства нулю:
\[ (x-1)^2=0 \]
\[ x=1 \]
Проверка:
\[ -1^2+2\cdot1-1=0 \]
Ответ: \(x=1\).
Покажи следующий пункт для решения.
Краткий ответ:
\[
x=1.
\]
Решение:
\[ -x^2+2x-1\ge 0. \]
Вынесем минус:
\[ -(x^2-2x+1)\ge 0. \]
Так как \(x^2-2x+1=(x-1)^2\), получаем:
\[ -(x-1)^2\ge 0. \]
Умножаем на \(-1\), меняя знак неравенства:
\[ (x-1)^2\le 0. \]
Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому он равен нулю:
\[ (x-1)^2=0 \quad\Rightarrow\quad x=1. \]
Проверка:
\[ -1^2+2\cdot1-1=-1+2-1=0, \]
а \(0\ge0\). Ответ верный.
\[ \boxed{x=1} \]
Обсуждение
2 сообщенияа как это решить методом интервалов
Решим неравенство методом интервалов:
\[ -x^2+2x-1\ge 0. \]
1. Разложим на множители
\[ -x^2+2x-1=-(x-1)^2=-(x-1)(x-1). \]
Получаем:
\[ -(x-1)^2\ge 0. \]
2. Найдём ноль выражения
\[ -(x-1)^2=0 \quad\Rightarrow\quad x=1. \]
Отмечаем точку \(1\) на числовой прямой:
\[ (-\infty;1)\quad 1\quad (1;+\infty) \]
3. Определим знаки на интервалах
При \(x\ne1\):
\[ (x-1)^2>0, \]
поэтому
\[ -(x-1)^2<0. \]
В точке \(x=1\) выражение равно нулю:
\[ -(1-1)^2=0. \]
Таблица знаков:
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;1) & 1 & (1;+\infty)\\ \hline -(x-1)^2 & - & 0 & - \end{array} \]
Нам нужны значения, где выражение неотрицательно, то есть знак «\(+\)» или \(0\). Подходит только точка \(x=1\).
\[ \boxed{x\in\{1\}} \]
