Реши задание на изображении

Краткие ответы

29. Решите уравнение:

а) \(x=\dfrac13;\ 3\)

б) \(x=-4;\ 4\)

30. Решите неравенство:

а) \(x\in(1;4)\)

б) \(x\in(-\infty;-2]\cup\left[-\dfrac12;+\infty\right)\)

в) \(x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty)\)

г) \(x\in[0;6]\)

31. График — парабола
\[ y=(x-3)^2-1, \] вершина \(V(3;-1)\), ветви направлены вверх.

---

29. Решение уравнений

а)

\[ 3x^2-10x+3=0. \]

Разложим на множители: \[ 3x^2-10x+3=(3x-1)(x-3). \]

Тогда \[ (3x-1)(x-3)=0, \] значит: \[ 3x-1=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]

\[ \boxed{x=\frac13;\ 3} \]

б)

\[ (x+2)^2=4(x+5). \]

Раскроем скобки: \[ x^2+4x+4=4x+20. \]

Перенесём всё в левую часть: \[ x^2-16=0. \]

Разность квадратов: \[ (x-4)(x+4)=0. \]

Следовательно, \[ \boxed{x=-4;\ 4}. \]

Проверка: оба значения при подстановке превращают левую и правую части в одинаковые числа.

---

30. Решение неравенств

Для квадратного трёхчлена с положительным коэффициентом при \(x^2\) выражение обычно отрицательно между корнями и положительно вне корней.

а)

\[ x^2-5x+4<0. \]

Разложим: \[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4). \]

Корни: \(1\) и \(4\). Нужно выражение меньше нуля, поэтому берём промежуток между корнями:

\[ \boxed{x\in(1;4)}. \]

б)

\[ 2x^2+5x+2\ge 0. \]

Разложим: \[ 2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2). \]

Корни: \[ x=-2,\qquad x=-\frac12. \]

Нужно \(\ge 0\), поэтому берём промежутки вне корней и сами корни включаем:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-2]\cup\left[-\frac12;+\infty\right)}. \]

в)

\[ x^2-4x+4>0. \]

Это полный квадрат: \[ x^2-4x+4=(x-2)^2. \]

Квадрат положителен при всех \(x\), кроме \(x=2\):

\[ \boxed{x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty)}. \]

г)

\[ x^2-6x\le 0. \]

Вынесем \(x\): \[ x(x-6)\le 0. \]

Корни: \(0\) и \(6\). Произведение неположительно между корнями, включая их:

\[ \boxed{x\in[0;6]}. \]

---

31. Построение графика

Дана функция: \[ y=x^2-6x+8. \]

Выделим полный квадрат: \[ y=x^2-6x+8=(x-3)^2-1. \]

Отсюда:

• вершина параболы: \(\boxed{(3;-1)}\);
• ось симметрии: \(\boxed{x=3}\);
• ветви направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положительный.

Найдём точки пересечения с осью \(Ox\): \[ x^2-6x+8=0, \] \[ (x-2)(x-4)=0. \]

\[ (2;0),\qquad (4;0). \]

Точка пересечения с осью \(Oy\): \[ x=0,\qquad y=8, \] то есть \((0;8)\).

Для построения можно использовать таблицу:

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline y&8&3&0&-1&0&3&8 \end{array} \]

Нанеси эти точки на координатную плоскость и соедини плавной линией. Получится парабола с вершиной \((3;-1)\), симметричная относительно прямой \(x=3\).