Реши задание на изображении

Краткий ответ

\[ \begin{aligned} \text{а)}&\ -\frac ab,\qquad &&b\ne0,\ x\ne2y;\\ \text{б)}&\ -\frac5{x^2},\qquad &&x\ne0,\ y\ne x;\\ \text{в)}&\ -\frac3b,\qquad &&b\ne0,\ a\ne12;\\ \text{г)}&\ -\frac13,\qquad &&b\ne0,\ b\ne\frac12;\\ \text{д)}&\ -\frac{a+5}{3},\qquad &&a\ne5;\\ \text{е)}&\ -\frac3{x-1},\qquad &&x\ne1;\\ \text{ж)}&\ -\frac{8(a+b)}{a-b},\qquad &&a\ne b;\\ \text{з)}&\ b-2,\qquad &&b\ne2. \end{aligned} \]

Решение

Сначала разложим числитель и знаменатель на множители. Сокращать можно только общие множители, а не отдельные слагаемые.

а)
\[ 2y-x=-(x-2y), \] \[ \frac{a(x-2y)}{b(2y-x)} =\frac{a(x-2y)}{-b(x-2y)} =-\frac ab. \]

б)
\[ y-x=-(x-y), \] \[ \frac{5x(x-y)}{x^3(y-x)} =\frac{5x(x-y)}{-x^3(x-y)} =-\frac5{x^2}. \]

в)
\[ 3a-36=3(a-12),\qquad 12b-ab=b(12-a)=-b(a-12), \] \[ \frac{3(a-12)}{-b(a-12)} =-\frac3b. \]

г)
\[ 7b-14b^2=7b(1-2b), \] \[ 42b^2-21b=21b(2b-1)=-21b(1-2b), \] \[ \frac{7b(1-2b)}{-21b(1-2b)} =-\frac13. \]

д)
\[ 25-a^2=(5-a)(5+a)=-(a-5)(a+5), \] \[ 3a-15=3(a-5), \] \[ \frac{-(a-5)(a+5)}{3(a-5)} =-\frac{a+5}{3}. \]

е)
\[ 3-3x=-3(x-1),\qquad x^2-2x+1=(x-1)^2, \] \[ \frac{-3(x-1)}{(x-1)^2} =-\frac3{x-1}. \]

ж)
\[ 8b^2-8a^2=8(b-a)(b+a), \] \[ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2=(b-a)^2, \] \[ \frac{8(b-a)(b+a)}{(b-a)^2} =\frac{8(a+b)}{b-a} =-\frac{8(a+b)}{a-b}. \]

з)
\[ 2-b=-(b-2),\qquad (2-b)^2=(b-2)^2, \] \[ \frac{(b-2)^3}{(2-b)^2} =\frac{(b-2)^3}{(b-2)^2} =b-2. \]

Ограничения нужны потому, что исходный знаменатель не должен быть равен нулю. Именно при указанных условиях сокращение выполнено корректно.