2,3,4 решить
Объяснение графика параболы
Я работаю с параболой с вершиной в точке (0, 2), которая открывается вниз вдоль оси y. У меня есть точки для x = 0 (y = 2), x = ±1 (y = 1) и x = ±2 (y = -2). Следует уточнить построение и упомянуть соответствующее уравнение линии, а также точки. Похоже, что полезно было бы показать график, поэтому я упомяну, как нарисовать его, обозначив основные точки и общую форму.
Я сохраню основной ответ прямым и кратким.
Краткий ответ
2) \(y=\dfrac{2}{5}x-\dfrac{7}{5}\) — прямая.
Точки для построения: \((1;-1)\), \((6;1)\).
3) \(y=\dfrac{x^2}{2}\) — парабола с вершиной \(O(0;0)\), ветви направлены вверх.
4) \(y=2-x^2\) — парабола с вершиной \(A(0;2)\), ветви направлены вниз.
Решение
2.
\[
2x-5y=7
\]
Выразим \(y\):
\[
-5y=7-2x,\qquad y=\frac{2x-7}{5}=\frac25x-\frac75.
\]
Возьмём удобные точки:
\[ x=1\Rightarrow y=-1,\qquad x=6\Rightarrow y=1. \]
Отметьте точки \((1;-1)\) и \((6;1)\), затем проведите через них прямую.
Проверка: \[ 2\cdot1-5\cdot(-1)=2+5=7. \]
3.
\[
-x^2+2y=0
\]
\[
2y=x^2,\qquad y=\frac{x^2}{2}.
\]
Таблица точек:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&2&0{,}5&0&0{,}5&2 \end{array} \]
Отметьте точки \((-2;2)\), \((-1;0{,}5)\), \((0;0)\), \((1;0{,}5)\), \((2;2)\) и соедините их плавной линией. Получится парабола, направленная вверх.
4.
\[
3y+3x^2-6=0
\]
Разделим на \(3\):
\[
y+x^2-2=0,\qquad y=2-x^2.
\]
Таблица точек:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&-2&1&2&1&-2 \end{array} \]
Вершина параболы — точка \((0;2)\), ветви направлены вниз. Отметьте найденные точки и соедините их плавной линией.
Проверка для \(x=1\): \[ 3\cdot1+3\cdot1^2-6=3+3-6=0. \]
Обсуждение
4 сообщенияОбъясни, как по уравнению определить вид графика
Главный приём: выразить \(y\) и сравнить получившееся уравнение с известными видами функций.
1. Прямая
Если получилось:
\[ y=kx+b, \]
то график — прямая.
- \(k\) — наклон прямой;
- \(b\) — координата пересечения с осью \(Oy\).
Пример с фотографии
\[ 3x-2y+5=0. \]
Выразим \(y\):
\[ -2y=-3x-5, \]
\[ y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}. \]
Это форма \(y=kx+b\), значит, график — прямая.
Точки пересечения с осями:
\[ x=0 \Rightarrow y=\frac52, \]
\[ y=0 \Rightarrow \frac32x+\frac52=0 \Rightarrow x=-\frac53. \]
Точки:
\[
\left(0;\frac52\right),\qquad
\left(-\frac53;0\right).
\]
2. Парабола
Если получилось:
\[ y=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0, \]
то график — парабола.
Направление ветвей определяется знаком \(a\):
- если \(a>0\), ветви направлены вверх;
- если \(a<0\), ветви направлены вниз.
Пример 3
\[ -x^2+2y=0. \]
\[ 2y=x^2, \]
\[ y=\frac{x^2}{2}. \]
Здесь \(a=\frac12>0\), поэтому это парабола, ветви направлены вверх. Вершина:
\[ (0;0). \]
Пример 4
\[ 3y+3x^2-6=0. \]
\[ 3y=6-3x^2, \]
\[ y=2-x^2. \]
Здесь \(a=-1<0\), поэтому это парабола, ветви направлены вниз. Вершина:
\[ (0;2). \]
Для ваших трёх заданий
| Уравнение после преобразования | Вид графика |
|---|---|
| \(\displaystyle y=\frac25x-\frac75\) | прямая |
| \(\displaystyle y=\frac{x^2}{2}\) | парабола вверх |
| \(\displaystyle y=2-x^2\) | парабола вниз |
Запомни:
\[
y=kx+b \quad\longrightarrow\quad \text{прямая},
\]
\[ y=ax^2+bx+c \quad\longrightarrow\quad \text{парабола}. \]
Точно так же
Конечно. Разберём № 2–4 точно таким же способом: выразим \(y\), а затем определим вид графика.
№ 2
\[ 2x-5y=7 \]
Выразим \(y\):
\[ -5y=7-2x, \]
\[ y=\frac{2}{5}x-\frac{7}{5}. \]
Получили вид:
\[ y=kx+b. \]
Значит, график — прямая.
Для построения можно взять точки:
\[ x=1 \Rightarrow y=-1, \]
\[ x=6 \Rightarrow y=1. \]
Точки: \((1;-1)\) и \((6;1)\).
№ 3
\[ -x^2+2y=0 \]
Выразим \(y\):
\[ 2y=x^2, \]
\[ y=\frac{x^2}{2}. \]
Получили вид:
\[ y=ax^2. \]
Значит, график — парабола.
Здесь
\[ a=\frac12>0, \]
поэтому ветви параболы направлены вверх. Вершина:
\[ (0;0). \]
№ 4
\[ 3y+3x^2-6=0 \]
Выразим \(y\):
\[ 3y=6-3x^2, \]
\[ y=2-x^2. \]
Получили вид:
\[ y=ax^2+bx+c. \]
Значит, график — парабола.
Здесь
\[ a=-1<0, \]
поэтому ветви направлены вниз. Вершина:
\[ (0;2). \]
Итог
- № 2: прямая;
- № 3: парабола, ветви вверх;
- № 4: парабола, ветви вниз.
