номер 699

Краткий ответ:

а) \(x^2\);

б) \(a^2-9b^2\);

в) \(25x^2+1\);

г) \(9y^2+32z^2\);

д) \(m^3-2n^3\);

е) \(c^2+64d^3\);

ж) \(x^2+30y^2\);

з) \(24x^2+18x+27\).

Решение

Используем формулы сокращённого умножения:

\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2, \]

\[ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3, \]

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]

а)

\[ (x-2y)(x+2y)+4y^2=x^2-4y^2+4y^2=x^2. \]

б)

\[ (2a-3b)(2a+3b)-3a^2 =4a^2-9b^2-3a^2 =a^2-9b^2. \]

в)

\[ (5x-1)^2+10x =25x^2-10x+1+10x =25x^2+1. \]

г)

\[ \begin{aligned} (3y+4z)^2-8z(3y-2z) &=9y^2+24yz+16z^2-24yz+16z^2\\ &=9y^2+32z^2. \end{aligned} \]

д)

\[ (m-2n)(m^2+2mn+4n^2)=m^3-8n^3, \]

поэтому

\[ m^3-8n^3+6n^3=m^3-2n^3. \]

е)

Здесь применяется формула суммы кубов:

\[ (c^2+4d)(c^4-4c^2d+16d^2) =(c^2)^3+(4d)^3=c^6+64d^3. \]

Тогда

\[ c^6+64d^3-c^2(c^4-1) =c^6+64d^3-c^6+c^2 =c^2+64d^3. \]

ж)

\[ \begin{aligned} (3x-4y)^2&=9x^2-24xy+16y^2,\\ (2x-7y)(4x+2y)&=8x^2-24xy-14y^2. \end{aligned} \]

Следовательно,

\[ 9x^2-24xy+16y^2-(8x^2-24xy-14y^2) =x^2+30y^2. \]

з)

\[ 2x(2x+3)^2=2x(4x^2+12x+9)=8x^3+24x^2+18x. \]

Кроме того,

\[ (2x-3)(4x^2+6x+9)=(2x)^3-3^3=8x^3-27. \]

Тогда

\[ \begin{aligned} &8x^3+24x^2+18x-(8x^3-27)\\ &=24x^2+18x+27. \end{aligned} \]

Проверка: в каждом пункте после раскрытия скобок подобные слагаемые сокращаются, а результат записан в виде многочлена.