Решаю задачу про точку \(A\) и I вариант. II вариант, который идёт после I варианта, не решаю.

1. Движение точки \(A\)

Дано: \[ x=-2t,\qquad y=2+3t. \]

а) Уравнение траектории \(y(x)\)

Из первого уравнения: \[ x=-2t \quad\Rightarrow\quad t=-\frac{x}{2}. \]

Подставим это во второе уравнение: \[ y=2+3\left(-\frac{x}{2}\right). \]

Получаем: \[ \boxed{y=2-\frac32x}. \]

Это уравнение прямой. При \(t\ge 0\): \(x\le 0\), \(y\ge 2\).

б) Начальные координаты и координаты через \(2\) с

Начальный момент: \(t=0\).

\[ x(0)=-2\cdot0=0, \] \[ y(0)=2+3\cdot0=2. \]

Начальные координаты: \[ \boxed{(0;\,2)}. \]

Через \(2\) с: \[ x(2)=-2\cdot2=-4\text{ м}, \] \[ y(2)=2+3\cdot2=8\text{ м}. \]

Ответ: \[ \boxed{x=-4\text{ м},\quad y=8\text{ м}}. \]

в) График функции \(y(x)\)

Нужно построить прямую: \[ y=2-\frac32x. \]

Удобные точки:

\[ \begin{array}{c|c} x & y\\ \hline 0 & 2\\ -2 & 5\\ -4 & 8 \end{array} \]

Отметьте точки \((0;2)\), \((-2;5)\), \((-4;8)\) и соедините их прямой.

---

III. Самостоятельная работа — I вариант

По рисунку:

• первое тело находится в точке \(x_{10}=60\) км и движется влево со скоростью \(40\) км/ч;
• второе тело находится в точке \(x_{20}=120\) км и движется влево со скоростью \(70\) км/ч.

Направление влево считаем отрицательным, поэтому: \[ v_1=-40\text{ км/ч},\qquad v_2=-70\text{ км/ч}. \]

а) Начальные координаты

\[ \boxed{x_{10}=60\text{ км}},\qquad \boxed{x_{20}=120\text{ км}}. \]

б) Уравнения движения \(x(t)\)

Формула равномерного движения: \[ x=x_0+vt. \]

Для первого тела: \[ \boxed{x_1(t)=60-40t}. \]

Для второго тела: \[ \boxed{x_2(t)=120-70t}. \]

Здесь \(x\) измеряется в километрах, а \(t\) — в часах.

в) Место и время встречи

В момент встречи координаты тел равны: \[ x_1=x_2. \]

Подставим уравнения: \[ 60-40t=120-70t. \]

Перенесём слагаемые: \[ 30t=60, \] \[ t=2\text{ ч}. \]

Найдём координату встречи: \[ x=60-40\cdot2=60-80=-20\text{ км}. \]

Ответ: \[ \boxed{t_{\text{встр}}=2\text{ ч}},\qquad \boxed{x_{\text{встр}}=-20\text{ км}}. \]

Графически

На графике \(x(t)\):

• первая прямая начинается в точке \((0;60)\);
• вторая прямая начинается в точке \((0;120)\);
• их пересечение имеет координаты \[ \boxed{(2;\,-20)}. \]

Это подтверждает аналитический результат.

г) График \(x(t)\)

Нужно построить две прямые:

\[ x_1=60-40t,\qquad x_2=120-70t. \]

Для построения можно взять таблицу:

\[ \begin{array}{c|ccc} t,\text{ ч} & 0 & 1 & 2\\ \hline x_1,\text{ км} & 60 & 20 & -20\\ x_2,\text{ км} & 120 & 50 & -20 \end{array} \]

Отметьте точки:

• для первого тела: \((0;60)\), \((1;20)\), \((2;-20)\);
• для второго тела: \((0;120)\), \((1;50)\), \((2;-20)\).

Соедините точки каждой группы прямой. Линии пересекутся в точке \((2;-20)\).

д) Координаты тел через \(4\) ч

Для первого тела: \[ x_1(4)=60-40\cdot4=60-160=-100\text{ км}. \]

Для второго тела: \[ x_2(4)=120-70\cdot4=120-280=-160\text{ км}. \]

Ответ: \[ \boxed{x_1(4)=-100\text{ км}}, \qquad \boxed{x_2(4)=-160\text{ км}}. \]

е) Путь за \(6\) ч

Путь при равномерном движении определяется формулой: \[ s=vt, \] где берётся модуль скорости.

Для первого тела: \[ s_1=40\cdot6=240\text{ км}. \]

Для второго тела: \[ s_2=70\cdot6=420\text{ км}. \]

Ответ: \[ \boxed{s_1=240\text{ км}},\qquad \boxed{s_2=420\text{ км}}. \]

Проверка

За \(6\) часов координаты тел были бы:

\[ x_1(6)=60-40\cdot6=-180\text{ км}, \] изменение координаты: \[ |-180-60|=240\text{ км}; \]

\[ x_2(6)=120-70\cdot6=-300\text{ км}, \] изменение координаты: \[ |-300-120|=420\text{ км}. \]

Получились те же значения пути.