2.3.4.6.8

Краткий ответ:

• 2) \((x;y)=(4;5),\ (13;-4)\)
• 3) \((x;y)=(6;5),\ (-4;-5)\)
• 4) \((x;y)=(-3;5),\ (2;10)\)
• 6) \((x;y)=\left(\frac52;-\frac12\right),\ \left(\frac{20}{9};\frac13\right)\)
• 8) \((x;y)=(3;2),\ (2;3)\)

Решение подстановкой

Принцип: из одного уравнения выражаем одну переменную и подставляем её во второе уравнение.

2)

\[ \begin{cases} x+y=9,\\ x+y^2=29. \end{cases} \]

Выразим \(x\): \[ x=9-y. \]

Подставим: \[ 9-y+y^2=29, \] \[ y^2-y-20=0, \] \[ (y-5)(y+4)=0. \]

Отсюда: \[ y=5 \quad \text{или} \quad y=-4. \]

Тогда:

• если \(y=5\), то \(x=9-5=4\);
• если \(y=-4\), то \(x=9+4=13\).

\[ \boxed{(4;5),\ (13;-4)} \]

Проверка: \(4+5=9,\ 4+25=29\); \(13-4=9,\ 13+16=29\).

---

3)

\[ \begin{cases} x-y=1,\\ x^2-2y=26. \end{cases} \]

Из первого уравнения: \[ x=y+1. \]

Подставим: \[ (y+1)^2-2y=26, \] \[ y^2+2y+1-2y=26, \] \[ y^2=25. \]

Значит: \[ y=5 \quad \text{или} \quad y=-5. \]

Тогда:

• \(y=5\Rightarrow x=6\);
• \(y=-5\Rightarrow x=-4\).

\[ \boxed{(6;5),\ (-4;-5)} \]

Проверка: \(6-5=1,\ 36-10=26\); \(-4-(-5)=1,\ 16+10=26\).

---

4)

\[ \begin{cases} x-y=-8,\\ x^2+y=14. \end{cases} \]

Выразим \(y\): \[ y=x+8. \]

Подставим: \[ x^2+x+8=14, \] \[ x^2+x-6=0, \] \[ (x+3)(x-2)=0. \]

Отсюда: \[ x=-3 \quad \text{или} \quad x=2. \]

Тогда:

• \(x=-3\Rightarrow y=5\);
• \(x=2\Rightarrow y=10\).

\[ \boxed{(-3;5),\ (2;10)} \]

Проверка: \(-3-5=-8,\ 9+5=14\); \(2-10=-8,\ 4+10=14\).

---

6)

\[ \begin{cases} 0{,}5x-1=y^2,\\ y+3x-7=0. \end{cases} \]

Из второго уравнения: \[ y=7-3x. \]

Подставим в первое: \[ 0{,}5x-1=(7-3x)^2. \]

Раскроем скобки: \[ 0{,}5x-1=49-42x+9x^2. \]

Умножим на \(2\): \[ x-2=98-84x+18x^2, \] \[ 18x^2-85x+100=0. \]

\[ D=(-85)^2-4\cdot18\cdot100=25. \]

\[ x=\frac{85\pm5}{36}. \]

Получаем: \[ x=\frac52 \quad \text{или} \quad x=\frac{20}{9}. \]

Находим \(y\):

• если \(x=\frac52\), то \[ y=7-3\cdot\frac52=-\frac12; \]
• если \(x=\frac{20}{9}\), то \[ y=7-3\cdot\frac{20}{9}=\frac13. \]

\[ \boxed{\left(\frac52;-\frac12\right),\ \left(\frac{20}{9};\frac13\right)} \]

Проверка: \[ 0{,}5\cdot\frac52-1=\frac14=\left(-\frac12\right)^2, \] \[ 0{,}5\cdot\frac{20}{9}-1=\frac19=\left(\frac13\right)^2. \]

---

8)

\[ \begin{cases} x+y-5=0,\\ xy-6=0. \end{cases} \]

Из первого уравнения: \[ x=5-y. \]

Подставим во второе: \[ (5-y)y=6, \] \[ 5y-y^2=6, \] \[ y^2-5y+6=0, \] \[ (y-2)(y-3)=0. \]

Значит: \[ y=2 \quad \text{или} \quad y=3. \]

Тогда:

• \(y=2\Rightarrow x=3\);
• \(y=3\Rightarrow x=2\).

\[ \boxed{(3;2),\ (2;3)} \]

Проверка: \(3+2=5,\ 3\cdot2=6\); \(2+3=5,\ 2\cdot3=6\).