Объясни задачи

Краткий ответ (все вычисления — в тысячах рублей):

• в примере с кредитом \(1050\) тыс. руб. последняя выплата больше первой на \(500\) тыс. руб. = 500,000) руб.;
• в задаче с \(20\%\), \(70\%\) и \(1502\) тыс. руб.:
  \[ S\approx1175{,}27\text{ тыс. руб.}; \]
• в нижней задаче с \(10\%\), \(10\%\) и \(981\) тыс. руб.:
  \[ S\approx771{,}83\text{ тыс. руб.}\approx771\,833\text{ руб.} \]

Основной принцип

Если долг на июль равен \(D\), то после январского увеличения он становится

\[ 1{,}1D \quad\text{или}\quad 1{,}2D. \]

Платёж равен:

\[ \text{долг после начисления процентов} - \text{долг, который должен остаться после выплаты}. \]

Важно: если долг должен стать на \(10\%\) меньше, значит останется \(90\%\):

\[ 100\%-10\%=90\%=0{,}9. \]

Если на \(70\%\) меньше, останется \(30\%=0{,}3\).

---

1. Пример с кредитом \(1050\) тыс. рублей

Проценты равны \(10\%\).

В 2027, 2028 и 2029 годах долг после выплаты остаётся \(1050\) тыс. руб.

После начисления процентов:

\[ 1050\cdot1{,}1=1155. \]

Поэтому первые три платежа:

\[ 1155-1050=105\text{ тыс. руб.} \]

Пусть одинаковые выплаты в 2030 и 2031 годах равны \(x\).

После выплаты в 2030 году останется:

\[ 1155-x. \]

В январе 2031 года долг увеличится:

\[ 1{,}1(1155-x). \]

Последним платежом также будет \(x\), поэтому:

\[ 1{,}1(1155-x)-x=0. \]

Решаем:

\[ 1270{,}5-1{,}1x-x=0, \]

\[ 2{,}1x=1270{,}5, \]

\[ x=605. \]

Последняя выплата больше первой на:

\[ 605-105=500\text{ тыс. руб.} \]

То есть \(500\,000\) рублей.

Проверка:

\[ 1{,}1(1155-605)-605=1{,}1\cdot550-605=605-605=0. \]

---

2. Задача с \(20\%\), уменьшением долга на \(70\%\) и суммой \(1502\)

Начальный долг — \(S\).

Первый год

После начисления \(20\%\):

\[ 1{,}2S. \]

Долг должен уменьшиться на \(70\%\), значит останется \(30\%\):

\[ 0{,}3S. \]

Первый платёж:

\[ 1{,}2S-0{,}3S=0{,}9S. \]

Второй год

Перед выплатой:

\[ 1{,}2\cdot0{,}3S=0{,}36S. \]

После выплаты должно остаться:

\[ 0{,}3\cdot0{,}3S=0{,}09S. \]

Второй платёж:

\[ 0{,}36S-0{,}09S=0{,}27S. \]

Третий год

Перед последней выплатой:

\[ 1{,}2\cdot0{,}09S=0{,}108S. \]

Это и есть последний платёж.

По условию сумма всех платежей равна \(1502\):

\[ 0{,}9S+0{,}27S+0{,}108S=1502. \]

\[ 1{,}278S=1502. \]

\[ S=\frac{1502}{1{,}278}\approx1175{,}27. \]

Ответ:

\[ \boxed{S\approx1175{,}27\text{ тыс. руб.}} \]

---

3. Нижняя задача: \(10\%\), уменьшение долга на \(10\%\), сумма \(981\)

Начальный долг — \(S\).

2029 год

После января:

\[ 1{,}1S. \]

Долг должен стать на \(10\%\) меньше, то есть остаться:

\[ 0{,}9S. \]

Первый платёж:

\[ 1{,}1S-0{,}9S=0{,}2S. \]

2030 год

Перед выплатой:

\[ 1{,}1\cdot0{,}9S=0{,}99S. \]

После выплаты останется \(90\%\) от предыдущего долга:

\[ 0{,}9\cdot0{,}9S=0{,}81S. \]

Второй платёж:

\[ 0{,}99S-0{,}81S=0{,}18S. \]

2031 год

Перед последним платежом:

\[ 1{,}1\cdot0{,}81S=0{,}891S. \]

Так как долг полностью погашается, последний платёж равен:

\[ 0{,}891S. \]

Составляем уравнение по общей сумме платежей:

\[ 0{,}2S+0{,}18S+0{,}891S=981. \]

\[ 1{,}271S=981. \]

\[ S=\frac{981}{1{,}271}\approx771{,}83. \]

Ответ:

\[ \boxed{S\approx771{,}83\text{ тыс. руб.}} \]

То есть примерно \(771\,833\) руб.

Проверка:

\[ 0{,}2S+0{,}18S+0{,}891S=1{,}271S=981, \]

а после последней выплаты долг равен нулю.