Докажи признаки параллелограмма
Краткий ответ
Четыре признака параллелограмма:
- Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то это параллелограмм.
- Если противоположные углы попарно равны, то это параллелограмм.
- Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.
- Если одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то это параллелограмм.
Пусть дан четырёхугольник \(ABCD\), вершины идут по порядку.
1. Противоположные стороны попарно равны
Дано:
\[ AB=CD,\qquad BC=AD. \]
Проведём диагональ \(AC\).
Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\):
\[ AB=CD,\qquad BC=AD,\qquad AC=AC. \]
Следовательно,
\[ \triangle ABC=\triangle CDA \]
по трём сторонам.
Из равенства треугольников:
\[ \angle BAC=\angle DCA, \]
значит,
\[ AB\parallel CD. \]
Также:
\[ \angle BCA=\angle DAC, \]
значит,
\[ BC\parallel AD. \]
Обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.
2. Противоположные углы попарно равны
Дано:
\[ \angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D. \]
Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\):
\[ \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ. \]
Так как противоположные углы равны, получаем:
\[ 2(\angle A+\angle B)=360^\circ, \]
откуда
\[ \angle A+\angle B=180^\circ. \]
Углы \(A\) и \(B\) — внутренние односторонние углы при прямых \(AD\) и \(BC\), поэтому
\[ AD\parallel BC. \]
Кроме того, поскольку \(\angle D=\angle B\),
\[ \angle A+\angle D=180^\circ. \]
Следовательно,
\[ AB\parallel CD. \]
Обе пары противоположных сторон параллельны, значит, \(ABCD\) — параллелограмм.
3. Диагонали делятся точкой пересечения пополам
Пусть диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).
Дано:
\[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]
Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(COD\).
\[ AO=OC,\qquad BO=OD, \]
а углы
\[ \angle AOB=\angle COD \]
как вертикальные.
Следовательно,
\[ \triangle AOB=\triangle COD \]
по двум сторонам и углу между ними.
Отсюда:
\[ \angle BAO=\angle DCO, \]
значит,
\[ AB\parallel CD. \]
Теперь рассмотрим треугольники \(AOD\) и \(COB\):
\[ AO=OC,\qquad OD=OB, \]
\[ \angle AOD=\angle COB \]
как вертикальные.
Значит,
\[ \triangle AOD=\triangle COB. \]
Отсюда:
\[ \angle DAO=\angle BCO, \]
следовательно,
\[ AD\parallel BC. \]
Обе пары сторон параллельны, поэтому \(ABCD\) — параллелограмм.
4. Одна пара противоположных сторон равна и параллельна
Пусть
\[ AB=CD,\qquad AB\parallel CD. \]
Проведём диагональ \(AC\).
Так как \(AB\parallel CD\), то
\[ \angle BAC=\angle DCA \]
как накрест лежащие углы.
В треугольниках \(ABC\) и \(CDA\):
\[ AB=CD,\qquad AC=AC,\qquad \angle BAC=\angle DCA. \]
Следовательно,
\[ \triangle ABC=\triangle CDA \]
по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников:
\[ \angle BCA=\angle DAC. \]
Это накрест лежащие углы, поэтому
\[ BC\parallel AD. \]
У нас уже было \(AB\parallel CD\). Значит, обе пары противоположных сторон параллельны, и \(ABCD\) — параллелограмм.
Как запомнить
Чтобы доказать, что четырёхугольник — параллелограмм, достаточно установить один из фактов:
- противоположные стороны попарно равны;
- противоположные углы попарно равны;
- диагонали делятся пополам;
- одна пара противоположных сторон одновременно равна и параллельна.
