Решт
Краткий ответ
13.2. \(y=\sqrt{x}\)
а)
\[
x=0;\ 1;\ 2\frac14
\quad\Rightarrow\quad
y=0;\ 1;\ \frac32.
\]
б)
\[
y=2;\ 2{,}5;\ 4
\quad\Rightarrow\quad
x=4;\ 6{,}25;\ 16.
\]
в) На отрезке \([1;9]\): \[ y_{\min}=1,\qquad y_{\max}=3. \]
г)
- выше прямой \(y=2\): \(\boxed{x\in(4;+\infty)}\);
- ниже прямой \(y=2\): \(\boxed{x\in[0;4)}\).
13.3. \(y=-\sqrt{x}\)
График — отражение графика \(y=\sqrt{x}\) относительно оси \(Ox\). Например, точки: \[ (0;0),\ (1;-1),\ (4;-2),\ (9;-3). \]
а)
\[
y=-1;\ -\frac32;\ -3.
\]
б)
\[
y=0;\ -2;\ -4
\quad\Rightarrow\quad
x=0;\ 4;\ 16.
\]
в) На отрезке \([2;4]\): \[ y_{\min}=-2,\qquad y_{\max}=-\sqrt2. \]
г)
- выше прямой \(y=-2\): \(\boxed{x\in[0;4)}\);
- ниже прямой \(y=-2\): \(\boxed{x\in(4;+\infty)}\).
13.4. Принадлежность точек графику \(y=\sqrt{x}\)
а) \(A(2;\sqrt2)\) — принадлежит;
б) \(B(1;0)\) — не принадлежит;
в) \(C(6{,}25;2{,}5)\) — принадлежит;
г) \(D(-9;3)\) — не принадлежит.
13.5. Принадлежность точек графику \(y=-\sqrt{x}\)
а) \(A(144;-12)\) — принадлежит;
б) \(B(-4;2)\) — не принадлежит;
в) \(C(3;-\sqrt3)\) — принадлежит;
г) \(D(2{,}25;1{,}5)\) — не принадлежит.
13.6. \(y=\sqrt{x}\)
| Промежуток \(x\) | Наименьшее значение | Наибольшее значение |
|---|---|---|
| \([0;1]\) | \(0\) | \(1\) |
| \((3;9]\) | не существует | \(3\) |
| \([1;4]\) | \(1\) | \(2\) |
| \([4;7)\) | \(2\) | не существует |
Для \((3;9]\) число \(\sqrt3\) является нижней гранью, но не достигается. Для \([4;7)\) число \(\sqrt7\) является верхней гранью, но не достигается.
13.7. \(y=\sqrt{x}\)
| Луч \(x\) | Наименьшее значение | Наибольшее значение |
|---|---|---|
| \([0;+\infty)\) | \(0\) | не существует |
| \([2;+\infty)\) | \(\sqrt2\) | не существует |
| \([9;+\infty)\) | \(3\) | не существует |
| \([5;+\infty)\) | \(\sqrt5\) | не существует |
Ключевой принцип
Функция \(y=\sqrt{x}\) определена при \(x\ge0\) и возрастает. Поэтому на отрезке минимум находится в левой точке, а максимум — в правой.
Функция \(y=-\sqrt{x}\) убывает: при увеличении \(x\) значение \(y\) становится меньше.
Проверка: \[ \sqrt{2\frac14}=\sqrt{\frac94}=\frac32,\qquad \sqrt{6{,}25}=2{,}5,\qquad -\sqrt4=-2. \]
