решение с рисунком и с дано
Краткие ответы
- \(v_{\text{ср}}\approx 7{,}65\ \text{м/с}\).
- \(v_{\text{ср}}=48\ \text{км/ч}\).
- \(v_{\text{ср}}=50\ \text{км/ч}\).
- \(v_{\text{ср}}=40\ \text{км/ч}\).
- \(v_{\text{ср}}=45\ \text{км/ч}=12{,}5\ \text{м/с}\).
Главное правило
Средняя скорость находится не как среднее арифметическое скоростей, а так:
\[ v_{\text{ср}}=\frac{S_{\text{весь}}}{t_{\text{всё}}}. \]
Задача 2
Дано:
\[ S_1=900\ \text{м},\quad v_1=10\ \text{м/с}, \]
\[ S_2=400\ \text{м},\quad v_2=5\ \text{м/с}. \]
Найти: \(v_{\text{ср}}\).
Схема:
старт ── 900 м; 10 м/с ──●── 400 м; 5 м/с ── финиш
Решение:
Время на первом участке:
\[ t_1=\frac{S_1}{v_1}=\frac{900}{10}=90\ \text{с}. \]
Время на втором участке:
\[ t_2=\frac{S_2}{v_2}=\frac{400}{5}=80\ \text{с}. \]
Весь путь:
\[ S=900+400=1300\ \text{м}. \]
Всё время:
\[ t=90+80=170\ \text{с}. \]
Средняя скорость:
\[ v_{\text{ср}}=\frac{1300}{170}\approx7{,}65\ \text{м/с}. \]
Ответ:
\[ \boxed{v_{\text{ср}}\approx7{,}65\ \text{м/с}}. \]
Проверка: средняя скорость меньше \(10\ \text{м/с}\), потому что значительную часть пути велосипедист ехал со скоростью \(5\ \text{м/с}\).
Задача 3
Дано:
\[ v_1=72\ \text{км/ч},\quad t_1=10\ \text{мин}, \]
\[ v_2=36\ \text{км/ч},\quad t_2=20\ \text{мин}. \]
Найти: \(v_{\text{ср}}\).
Схема:
старт ── горизонтальный участок: 72 км/ч; 10 мин ──●── подъём: 36 км/ч; 20 мин ── финиш
Переведём минуты в часы:
\[ 10\ \text{мин}=\frac16\ \text{ч},\qquad 20\ \text{мин}=\frac13\ \text{ч}. \]
Расстояние на первом участке:
\[ S_1=72\cdot\frac16=12\ \text{км}. \]
Расстояние на втором участке:
\[ S_2=36\cdot\frac13=12\ \text{км}. \]
Весь путь:
\[ S=12+12=24\ \text{км}. \]
Всё время:
\[ t=10+20=30\ \text{мин}=0{,}5\ \text{ч}. \]
Средняя скорость:
\[ v_{\text{ср}}=\frac{24}{0{,}5}=48\ \text{км/ч}. \]
Ответ:
\[ \boxed{48\ \text{км/ч}}. \]
Задача 4
Дано:
\[ t_1=5\ \text{ч},\quad v_1=80\ \text{км/ч}, \]
\[ S_2=200\ \text{км},\quad t_2=7\ \text{ч}. \]
Найти: \(v_{\text{ср}}\).
Схема:
старт ── 5 ч; 80 км/ч ──●── 200 км; 7 ч ── финиш
Путь на первом участке:
\[ S_1=v_1t_1=80\cdot5=400\ \text{км}. \]
Весь путь:
\[ S=400+200=600\ \text{км}. \]
Всё время:
\[ t=5+7=12\ \text{ч}. \]
Средняя скорость:
\[ v_{\text{ср}}=\frac{600}{12}=50\ \text{км/ч}. \]
Ответ:
\[ \boxed{50\ \text{км/ч}}. \]
Задача 5
Дано:
\[ t_1=3\ \text{ч},\quad v_1=50\ \text{км/ч}, \]
\[ S_2=150\ \text{км},\quad t_2=4{,}5\ \text{ч}. \]
Найти: \(v_{\text{ср}}\).
Схема:
старт ── 3 ч; 50 км/ч ──●── 150 км; 4,5 ч ── финиш
Путь на первом участке:
\[ S_1=v_1t_1=50\cdot3=150\ \text{км}. \]
Весь путь:
\[ S=150+150=300\ \text{км}. \]
Всё время:
\[ t=3+4{,}5=7{,}5\ \text{ч}. \]
Средняя скорость:
\[ v_{\text{ср}}=\frac{300}{7{,}5}=40\ \text{км/ч}. \]
Ответ:
\[ \boxed{40\ \text{км/ч}}. \]
Задача 6
Дано:
\[ S_1=72\ \text{км},\quad v_1=20\ \text{м/с}, \]
\[ S_2=108\ \text{км},\quad t_2=3\ \text{ч}. \]
Найти: \(v_{\text{ср}}\).
Схема:
старт ── 72 км; 20 м/с ──●── 108 км; 3 ч ── финиш
Переведём скорость:
\[ 20\ \text{м/с}=20\cdot3{,}6=72\ \text{км/ч}. \]
Время на первом участке:
\[ t_1=\frac{72}{72}=1\ \text{ч}. \]
Весь путь:
\[ S=72+108=180\ \text{км}. \]
Всё время:
\[ t=1+3=4\ \text{ч}. \]
Средняя скорость:
\[ v_{\text{ср}}=\frac{180}{4}=45\ \text{км/ч}. \]
Переведём в метры в секунду:
\[ 45\ \text{км/ч}=\frac{45}{3{,}6}=12{,}5\ \text{м/с}. \]
Ответ:
\[ \boxed{v_{\text{ср}}=45\ \text{км/ч}=12{,}5\ \text{м/с}}. \]
