Реши задание на изображении

Ответ: \(\boxed{5}\).

Так как \(M\in AC\), \(N\in AB\), то

\[ \angle MAN=\angle BAC. \]

По условию:

\[ AM=\frac{AB}{3},\qquad AN=\frac{AC}{3}. \]

Значит,

\[ \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac13. \]

Треугольники \(AMN\) и \(ABC\) подобны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие стороны относятся как \(1:3\):

\[ \frac{MN}{BC}=\frac13. \]

При \(BC=15\):

\[ MN=\frac{15}{3}=5. \]

Проверка: \(MN\) в три раза меньше \(BC\), что соответствует коэффициенту подобия.