Реши задание на изображении

Краткий ответ. Пусть \(H\) — матрица размера \(n\times n\). Тогда

\[ H^0=I_n, \]

а для \(1\le k\le n-1\)

\[ (H^k)_{ij}= \begin{cases} 1,& j-i=k,\\ 0,& \text{иначе}. \end{cases} \]

То есть в \(H^k\) единицы стоят на \(k\)-й наддиагонали:

\[ H^k= \begin{pmatrix} 0&\cdots&0&1&0&\cdots&0\\ 0&\cdots&0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&&&&&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&0&\cdots&1\\ 0&\cdots&0&0&0&\cdots&0 \end{pmatrix}. \]

Поэтому

\[ \boxed{H^n=0} \]

и, следовательно,

\[ \boxed{H^k=0\quad \text{при } k\ge n.} \]

Почему так?

В исходной матрице единицы стоят на первой наддиагонали:

\[ H= \begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&1\\ 0&\cdots&0&0&0 \end{pmatrix}. \]

При умножении матрицы \(H\) самой на себя единицы сдвигаются на одну диагональ вправо:

\[ H^2= \begin{pmatrix} 0&0&1&\cdots&0\\ 0&0&0&\ddots&\vdots\\ \vdots&&&&1\\ 0&\cdots&0&0&0 \end{pmatrix}. \]

Ещё одно умножение даёт единицы на третьей наддиагонали. После \(n\) сдвигов наддиагоналей уже не остаётся, поэтому получается нулевая матрица.

Например, для матрицы \(4\times4\):

\[ H^4=0,\qquad H^5=0,\ldots \]

Проверка: каждая следующая степень сдвигает единицы на одну наддиагональ вправо, поэтому после \(n\) шагов все элементы становятся нулевыми.