задание 6

На фото нужно решить пункт 6 задания 21:

\[ (3x-2)^3+(5-4x)^3. \]

Используем формулу суммы кубов:

\[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). \]

Пусть \(a=3x-2\), \(b=5-4x\). Тогда

\[ a+b=3x-2+5-4x=3-x. \]

\[ a^2-ab+b^2 =(3x-2)^2-(3x-2)(5-4x)+(5-4x)^2 =37x^2-75x+39. \]

Следовательно,

\[ \boxed{(3x-2)^3+(5-4x)^3=(3-x)(37x^2-75x+39)}. \]

Задание 16. Докажите тождество

1)

\[ \begin{aligned} &(c+6)(3a-4)+(a-c)(1+c+a)-3ac+24+5c-19a\\ &=3ac-4c+18a-24+(a^2-c^2+a-c)-3ac+24+5c-19a\\ &=a^2-c^2. \end{aligned} \]

Тождество доказано.

2)

\[ \begin{aligned} &(a-c)^2-(a^2-c^2)+2ac-2\\ &=a^2-2ac+c^2-a^2+c^2+2ac-2\\ &=2c^2-2\\ &=2(c^2-1). \end{aligned} \]

Тождество доказано.

Да, здесь нужно написать решение, потому что задание требует доказать тождество. Недостаточно указать только итог: нужно показать раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.

Можно переписать решение по шагам, как выше, а в конце написать: «Тождество доказано».

Задание 16

1)

\[ \begin{aligned} &(c+6)(3a-4)+(a-c)(1+c+a)-3ac+24+5c-19a\\ &=3ac-4c+18a-24+(a^2-c^2+a-c)-3ac+24+5c-19a\\ &=a^2-c^2. \end{aligned} \]

Ответ:

\[ \boxed{a^2-c^2} \]

2)

\[ \begin{aligned} &(a-c)^2-(a^2-c^2)+2ac-2\\ &=a^2-2ac+c^2-a^2+c^2+2ac-2\\ &=2c^2-2\\ &=2(c^2-1). \end{aligned} \]

Ответ:

\[ \boxed{2(c^2-1)} \]

Задание 17

1)

\[ \begin{aligned} 27^2\cdot81^3:81^2 &=(3^3)^2\cdot(3^4)^3:(3^4)^2\\ &=3^6\cdot3^{12}:3^8\\ &=3^{10}=(3^2)^5=9^5. \end{aligned} \]

2)

\[ \begin{aligned} 7^2\cdot21^3(6^3)^2:14^2:343 &=7^2(3\cdot7)^3(2\cdot3)^6:(2\cdot7)^2:7^3\\ &=2^{6-2}\cdot3^{3+6}\cdot7^{2+3-2-3}\\ &=2^4\cdot3^9. \end{aligned} \]

3)

\[ \begin{aligned} 4^{-18}(8^{-3})^2:(8^{-4})^3 &=(2^2)^{-18}\cdot\bigl((2^3)^{-3}\bigr)^2: \bigl((2^3)^{-4}\bigr)^3\\ &=2^{-36}\cdot2^{-18}:2^{-36}\\ &=2^{-18}\\ &=(2^{-2})^9=0{,}25^9. \end{aligned} \]

4)

\[ \begin{aligned} a^{-1}(ab)^2(b^{-3})^2:b^{-2} &=a^{-1}\cdot a^2b^2\cdot b^{-6}:b^{-2}\\ &=a^{-1+2}b^{2-6-(-2)}\\ &=ab^{-2}. \end{aligned} \]

Тождества доказаны.