Реши вче пошагово

Ответ: стороны прямоугольника равны
\[ \boxed{\sqrt2 \text{ и } 2\sqrt2}. \] Максимальная площадь равна \(\boxed{4}\).

Решение

Расположим равнобедренный прямоугольный треугольник на координатной плоскости:

\[ O(0,0),\quad A(4,0),\quad B(0,4). \]

Тогда его гипотенуза \(AB\) имеет уравнение

\[ x+y=4. \]

Пусть две вершины прямоугольника на гипотенузе имеют координаты

\[ M(x,4-x),\qquad N(4-x,x). \]

Здесь \(0\le x\le 2\). Две другие вершины лежат на катетах:

\[ P(4-2x,0),\qquad Q(0,4-2x). \]

1. Найдём длины сторон прямоугольника

Одна сторона:

\[ MQ=\sqrt{(x-0)^2+\bigl((4-x)-(4-2x)\bigr)^2}. \]

\[ MQ=\sqrt{x^2+x^2}=x\sqrt2. \]

Другая сторона:

\[ MN=\sqrt{\bigl((4-x)-x\bigr)^2+\bigl(x-(4-x)\bigr)^2}. \]

\[ MN=\sqrt{(4-2x)^2+(4-2x)^2} =\sqrt2(4-2x). \]

2. Составим формулу площади

\[ S(x)=MQ\cdot MN \]

\[ S(x)=x\sqrt2\cdot(4-2x)\sqrt2 =2x(4-2x). \]

Раскроем скобки:

\[ S(x)=8x-4x^2. \]

Представим в виде квадрата:

\[ S(x)=4-4(x-1)^2. \]

Так как

\[ (x-1)^2\ge 0, \]

то площадь будет наибольшей при

\[ x=1. \]

3. Найдём стороны

Первая сторона:

\[ x\sqrt2=1\cdot\sqrt2=\sqrt2. \]

Вторая сторона:

\[ (4-2x)\sqrt2=(4-2)\sqrt2=2\sqrt2. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\text{стороны прямоугольника } \sqrt2 \text{ и } 2\sqrt2}. \]

При этом

\[ S_{\max}=\sqrt2\cdot2\sqrt2=\boxed{4}. \]