59 номер
Упрощение алгебраических выражений
Мне нужно решить русскую алгебраическую задачу из задания 59. Первая часть включает упрощение выражения: \((2ab/(a^2-b^2) + (a-b)/(2a+2b)) \cdot 2a/(a+b) + b/(b-a)\). Я разложу знаменатели на множители и приведу слагаемые к общему знаменателю. После упрощения я смогу указать окончательный результат с ограничениями на область определения, такими как \(a \neq b\) и \(a \neq -b\).
Вторая часть связана с другим выражением, и здесь следует применить аналогичный подход.
Установление ограничений в алгебре
Я рассматриваю некоторые ограничения, необходимые для упрощения. В первой части видно, что \(2a + 2b \neq 0\) означает \(a \neq -b\). Знаменатель \(a + b\) даёт то же условие, а \(b - a \neq 0\) приводит к \(a \neq b\). Поэтому в целом необходимо \(a \neq \pm b\).
Теперь для части б нужно упростить выражение \(E = \frac{y}{x-y} - \left(\frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2}\right) \cdot \left(\frac{x}{(x-y)^2} - \frac{y}{x^2 - y^2}\right)\).
Упрощение алгебраических выражений
Я работаю над алгебраической задачей, связанной с упрощением. Я начал с двух слагаемых: первый числитель представил как \(x(x+y)\), а второй — как \(y(x-y)\). После вычитания я получил \(x² + y²\), что выглядит верно. Числитель раскладывается как \(x(x-y)(x+y)\), а произведение упрощается до \(x/(x-y)\). Я замечаю, что \(x² + y²\) равно нулю только в точке \((0,0)\), которую я исключил. Следует также уточнить некоторые термины и процессы проверки, добавив по ходу важные тождества.
Краткий ответ:
а) \(\boxed{1}\), при \(a\ne b,\ a\ne -b\).
б) \(\boxed{-1}\), при \(x\ne y,\ x\ne -y\).
а)
\[ \left(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\right) \cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a} \]
Разложим знаменатели:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b),\qquad 2a+2b=2(a+b). \]
Тогда выражение в скобках:
\[ \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{2(a+b)} \]
\[ =\frac{4ab+(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} =\frac{a^2+2ab+b^2}{2(a-b)(a+b)} =\frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)} =\frac{a+b}{2(a-b)}. \]
Теперь:
\[ \frac{a+b}{2(a-b)}\cdot\frac{2a}{a+b} +\frac{b}{b-a} = \frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b} = \frac{a-b}{a-b}=1. \]
б)
\[ \frac{y}{x-y} -\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2} \left(\frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2}\right) \]
Сначала упростим скобки:
\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y), \]
\[ \frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{(x-y)(x+y)} = \frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)}. \]
Числитель:
\[ x(x+y)-y(x-y)=x^2+y^2. \]
Значит,
\[ \frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2} = \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}. \]
Кроме того,
\[ x^3-xy^2=x(x^2-y^2)=x(x-y)(x+y). \]
Поэтому произведение равно:
\[ \frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2} \cdot \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)} = \frac{x}{x-y}. \]
Окончательно:
\[ \frac{y}{x-y}-\frac{x}{x-y} = \frac{y-x}{x-y}=-1. \]
Проверка выполнена: все сокращения допустимы только при указанных ограничениях.
