Реши задание на изображении

Краткий ответ

На фото видны задания 41–43.

41

а) \(\displaystyle -\frac{y}{y+1}\), \(y\ne\pm1\);

б) \(\displaystyle -\frac{a+2}{a}\), \(a\ne0,2\);

в) \(\displaystyle -\frac3a\), \(a\ne0,\ x\ne c\);

г) \(\displaystyle -\frac{5a}{b}\), \(b\ne0,\ a\ne2b\);

д) \(\displaystyle \frac{m+n}{m-n}\), \(m\ne n\);

е) \(\displaystyle \frac{z}{z-3}\), \(z\ne3\);

ж) \(\displaystyle -(x+1)\), \(x\ne0,1\);

з) \(\displaystyle -a\), \(x\ne0,\ x\ne a\);

и) \(\displaystyle \frac{n-p}{n}\), \(n\ne0,\ n\ne p\).

42

а) \(\displaystyle -\frac{a+b}{a-b}\), \(a\ne b,\ y\ne x\);

б) \(-1\), \(n\ne1,2\);

в) \(-1\), \(p\ne a,b,c\);

г) \(\displaystyle -\frac{a-b}{a-c}=\frac{a-b}{c-a}\), \(a+b-c\ne0,\ a\ne c\).

43

Андрей — неверно:

\[ \frac{(2a-2b)^2}{8b-8a} =\frac{b-a}{2},\qquad a\ne b. \]

Борис — неверно в показанной записи: перед \((m-n)(m+n)\) лишний знак «−».

\[ \frac{4m^2-4n^2}{(4n-4m)^2} =\frac{m+n}{4(m-n)},\qquad m\ne n. \]

---

Ключевые шаги

Главный принцип: разложить числитель и знаменатель на множители, заменить противоположные разности и сократить общий множитель. Запрещённые значения берутся из исходного знаменателя и сохраняются после сокращения.

Задание 41

а)

\[ \frac{y^2-y}{1-y^2} =\frac{y(y-1)}{(1-y)(1+y)} =-\frac{y}{y+1}. \]

б)

\[ \frac{a^2-4}{2a-a^2} =\frac{(a-2)(a+2)}{a(2-a)} =-\frac{a+2}{a}. \]

в)

\[ \frac{3x-3c}{ac-ax} =\frac{3(x-c)}{a(c-x)} =-\frac3a. \]

г)

\[ \frac{5a^2-10ab}{2b^2-ab} =\frac{5a(a-2b)}{b(2b-a)} =-\frac{5a}{b}. \]

д)

\[ \frac{m^2-n^2}{(n-m)^2} =\frac{(m-n)(m+n)}{(m-n)^2} =\frac{m+n}{m-n}. \]

е)

\[ \frac{z^2-3z}{9-6z+z^2} =\frac{z(z-3)}{(z-3)^2} =\frac{z}{z-3}. \]

ж)

\[ \frac{x^3-x}{x-x^2} =\frac{x(x-1)(x+1)}{-x(x-1)} =-(x+1). \]

з)

\[ \frac{a^2x-ax^2}{x^2-ax} =\frac{ax(a-x)}{x(x-a)} =-a. \]

и)

\[ \frac{p^2-2pn+n^2}{n^2-pn} =\frac{(p-n)^2}{n(n-p)} =\frac{n-p}{n}. \]

Задание 42

а) Так как \(x-y=-(y-x)\),

\[ \frac{a(x-y)-b(y-x)}{(a-b)(y-x)} =\frac{-a(y-x)-b(y-x)}{(a-b)(y-x)} =-\frac{a+b}{a-b}. \]

б)

\[ 2(n-1)-n(n-1)=(n-1)(2-n), \]

поэтому

\[ \frac{-(1-n)(n-2)}{(n-1)(2-n)} =\frac{(n-1)(n-2)}{-(n-1)(n-2)} =-1. \]

в) Каждый множитель знаменателя противоположен соответствующему множителю числителя:

\[ a-p=-(p-a),\quad b-p=-(p-b),\quad c-p=-(p-c). \]

Три знака «−» дают один общий минус:

\[ \frac{(p-a)(p-b)(p-c)} {(a-p)(b-p)(c-p)}=-1. \]

г)

\[ c-a-b=-(a+b-c), \]

поэтому

\[ \frac{(a+b-c)(a-b)} {(c-a-b)(a-c)} = -\frac{a-b}{a-c}. \]

Задание 43

У Андрея ошибка уже в первом преобразовании:

\[ (2a-2b)^2=[2(a-b)]^2=4(a-b)^2, \]

а не \(2(a-b)^2\). Поэтому

\[ \frac{(2a-2b)^2}{8b-8a} = \frac{4(a-b)^2}{8(b-a)} = \frac{4(a-b)^2}{-8(a-b)} = \frac{b-a}{2}. \]

У Бориса:

\[ m^2-n^2=(m-n)(m+n), \]

а квадрат разности знака не меняет:

\[ (n-m)^2=(m-n)^2. \]

Значит,

\[ \frac{4(m^2-n^2)}{16(n-m)^2} = \frac{4(m-n)(m+n)}{16(m-n)^2} = \frac{m+n}{4(m-n)}. \]

Проверка знаков: при \(m=2,\ n=1\) исходная дробь равна \(\frac{12}{16}=\frac34\), и результат \(\frac{2+1}{4(2-1)}=\frac34\).